4.4探索三角形相似的条件 【知识点1】相似三角形的判定 1 【题型1】三边成比例两三角形相似 1 【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似 4 【题型3】两角分别相等两三角形相似 5 【题型4】黄金分割 7 【知识点1】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【题型1】三边成比例两三角形相似 【典型例题】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵小正方形的边长均为1，∴△ABC三边分别为2，，，同理：A中各边的长分别为，3，；B中各边长分别为2，1，；C中各边长分别为1,2，；D中各边长分别为2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为2，故选B. 【举一反三1】下列三个三角形中相似的是( ) A.A与B B.A与C C.B与C D.A，B，C都相似 【答案】B 【解析】A中三角形的三边长分别为2，，；B中三角形的三边长分别为3，，；C中三角形的三边长分别为5，，.∵：5＝2：＝：，∴A与C相似．故选B. 【举一反三2】若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的长为21 cm，则其余两边长的和为( ) A.24 cm B.21 cm C.19 cm D.9 cm 【答案】A 【解析】相似三角形的对应边的比相等，设其余两边的长分别是x，y，则x∶y∶21＝3∶5∶7，解得x＝9，y＝15，故其余两边长的和为9＋15＝24 cm.故选A. 【举一反三3】一个三角形的三边之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为_____，_____时，这两个三角形相似． 【答案】 【解析】∵如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，∴当另一个三角形的三边的比为3∶4∶5时，这两个三角形相似，∵另一个三角形的最短边长为8，∴另外两边长为. 【举一反三4】如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有_____对． 【答案】2 【解析】设每一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长. △ABC的各边分别为2，，；△CDF的各边分别为，，3；△EFG的各边分别为，，；△HMN的各边分别为1，，；△HPQ的各边分别为2,2，2；可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似． 【举一反三5】如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC. 【答案】证明：∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，即DE：AB＝EF：BC＝DF：AC，∴ABC∽△DEF. 【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似 【典型例题】将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是( ) A.2 B.或2 C. D.或2 【答案】B 【解析】∵△ABC沿EF折叠C和D重合，∴FD＝CF，设CF＝x，则BF＝4－x，以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD＝∠C，则，即，解得x＝；②若∠BFD＝∠A，则＝1，即，解得x＝2.综上所述，CF的长为或2.故选B. 【举一反三1】如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/秒，点E运动的速度为2 cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、 ... ...
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