浙教版九上-重难点03 二次函数综合之平行四边形的存在性（模型讲解 典例 强化）（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破 重难点03 二次函数综合之平行四边形的存在性 三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习 在数学中，二次函数和平行四边形是两个看似不相关但实则紧密相连的概念。当我们将一次函数的图像与平行四边形的性质结合起来探讨时，会发现一系列有趣且富有挑战性的存在性问题。这些问题不仅考验着我们对二次函数和平行四边形基本性质的理解，还要求我们运用逻辑推理、几何变换和代数运算等多种数学工具进行求解。本文将围绕“二次函数与平行四边形存在性问题”这一主题，从多个方面进行深入探讨。 一、关于平行四边形的基础知识 1、什么是平行四边形？ 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2、平行四边形具有哪些性质？ 边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 注：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 3、平行四边形的判定方法 a) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； b) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； c) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； d) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； e) 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 二、平行四边形存在性问题的解题策略 1、由平行四边形的对边平行且相等，我们可以将点A、D看成是由B、C两点移动得到的，且移动的路径完全相同，如图所示： 所以可以得到； 2、由平行四边形的对角线互相平分我们可以得到AC的中点与BD的中点是重合的，如图所示： 点O就是AC的中点，也是BD的中点，所以. 上述两种情况所得到的方程进行变形，会发现所得到的方程是一样的，过程如下： 于是，我们又可以得到，当AC、BD为平行四边形ABCD的对角线时，则有（对应横、纵坐标相加）. 上述结论反过来，若，能否证明四边形ABCD就是平行四边形呢？答案是不一定，如下图所示： 点O是CD的中点，也是AB的中点，但是ABCD很显然不是平行四边形，这种反例要多加注意。 三、平行四边形存在性问题的考法 1、三定一动类（三个定点，一个动点） 例：如图，已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），试在平面内找一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形. 2、两定两动（两个定点，两个动点） 例：已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标． （2023·山东枣庄·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，， ∴， 即：的最小值为： ... ...