中小学教育资源及组卷应用平台 【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破 重难点06 四点共圆模型 三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习 四点共圆模型是几何学中的一个经典问题，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,因而历来是考试和竞赛的热点。在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要. 一、定点定长共圆模型 如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD， 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 二、定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型（同侧型）：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 定边对双直角模型（异侧型）：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。 三、定边对定角共圆模型 如图，平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆． 如图，AC、BD交于H，， 结论：四点共圆. 四、对角互补共圆模型 如图，平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆． 如图，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. （2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解． 【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点，∴AG=DG=EG 又∵AG=FG∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB，∴四边形NAMF是正方形∴AN=AM=FN= 又∵，∴ ∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3 ∴在Rt△DAE中，DE=故选：A． （2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】如图，设交于点F，过C作， 在以为直径的圆上 ， ， 在和中 = ， 1．（2023·陕西·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ） A．68° B．88° C．90° D．112° 【答案】B 【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心， 以AB的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC， ∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°， 2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】求解，可得，，即，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；证明，故④符合题意；证明， 可得为等边三角形．故⑤符合题意；证明在以为圆心，为半径的圆上，可得，，，故③不符合题意；从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，∴，故①符合题意； ∵，∴，∴，故②符合题意； ∵点D是的中点，，∴，故④符合题意； ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形．故⑤符合题意； ∵点D是的中点，，∴， ∴在以为圆心， ... ...
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