专题21.4 一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义） 【人教版】 【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1 【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】 3 【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】 5 【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】 8 【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】 10 【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】 13 【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 15 【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】 17 【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】 20 【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 24 知识点 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数之间的关系，得到，整体代入法进行计算即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）一元二次方程的两个根分别是，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题可得，，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出，，从而得出，由此规律计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】 【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4051 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则 ， 故答案为：4051． 【变式2-1】（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知和是方程的两个根，则的值为 ． 【答案 ... ...
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