人教版2026年九年级上册数学专题14垂径定理的四类综合题型(压轴题专项训练)(原卷版+解析)

专题14 垂径定理的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用垂径定理求线段长问题 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 类型四、利用垂径定理解实际应用问题 压轴专练 类型一、利用垂径定理求线段长问题 知识点总结 1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，可拓展为“过圆心、垂直弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧”知二推三。 2.关键公式：结合勾股定理，设圆半径为r、弦心距为d、弦长为l，则r2 = d2+ ()2，用于关联未知线段。 解题技巧 1.构造直角三角形：作圆心到弦的垂线，连接圆心与弦端点，将半径、弦心距、半弦长转化为直角三角形三边。 2.方程思想：设未知量（如半径、弦心距），根据定理和勾股定理列方程，代入已知数据求解，避免漏用半弦长条件。 例1．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于，若，，则 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 【变式1-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·广东·期末）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 知识点总结 1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对弧，平行弦可共用同一条与它们垂直的直径（或弦心距），该直径平分两条平行弦。 2.关键关系：设圆半径r、弦心距分别为d1、d2，弦长l1、l2，则r2 = d2+ ()2和r2 = d2+ ()2，两弦心距和或差需结合位置（同侧/异侧）确定。 解题技巧 1.定位弦心距：先作垂直于平行弦的直径，明确两弦与圆心的位置关系（同侧或异侧），确定弦心距是相加还是相减。 2.列方程求解：利用半径相等建立等式，代入已知弦长或弦心距，设未知量求解，避免忽略位置对弦心距关系的影响。 例2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（ ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，． （1）点到的距离为 ； （2）的值为 ． 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 知识点总结 1. 核心性质：同心圆半径不同（设为R、r，R>r），若一条直线截两圆得弦AB（大圆）、CD（小圆），且直线垂直于过圆心的半径，则由垂径定理，半径平分两弦，即OA=R，OC=r，AB=2AE，CD=2CE。 2. 关键等式：结合勾股定理，得AE2 = R2- OE2，CE2= r2 - OE2（OE为圆心到直线的距离），可关联两弦长或距离。 解题技巧 1. 作公共弦心距：过圆心作截线的垂线（公共弦心距OE），构建含大圆半径、小圆半径、弦心距的两个直角三角形。 2. 用半径差列算：利用两直角三角形共弦心距的特点，通过勾股定理表示弦长一半，再根据所求（如弦长差、距离）设未知量求解，避免混淆两圆半径。 例3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）c ... ...