人教版2026年九年级上册数学专题02一元二次方程的应用的五类综合题型(压轴题专项训练)(原卷版+解析)

专题02 一元二次方程的应用的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元二次方程解决增长率问题 类型二、利用一元二次方程解决传播问题 类型三、利用一元二次方程解决营销问题 类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 压轴专练 类型一、利用一元二次方程解决增长率问题 一、增长率问题的基本公式 增长率问题的核心公式为：N= a(1+x)n ，其中： a 表示初始量（基期量）； x 表示平均增长率（通常设为未知数）； n 表示增长次数（如年数、周期数）； N 表示经过n次增长后的最终量（末期量）。 若为下降率，则公式变为 N = a(1 - x)n ，x为平均下降率。 二、一元二次方程的建立与求解 当增长次数n=2时，公式可转化为一元二次方程： a(1 + x)2 = N 。 步骤：先整理方程为一般形式 ax2+bx+c=0（此处a为系数，与初始量a区分），再用配方法、公式法或因式分解法求解。 注意：解出的 x 需为正数（增长率），且符合实际意义，需舍去不合理的解（如负数解）。 三、实际问题中的关键分析 明确“初始量”和“末期量”：需从题目中准确提取增长前后的具体数值，避免混淆。 区分“累计增长”与“单次增长”：若问题涉及两年的总增长量，需用“第一年增长量 + 第二年增长量 = 总增长量”列式，而非直接套用平方公式。 单位与精度：结果通常需化为百分数，且根据题意保留合适的小数位数（如精确到1%）。 例1．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是个． 【变式1-1】在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 ①_____ 2025 ②_____ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【知识点】列代数式、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元， 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 【变式1-2】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每 ... ...