5.2.2 排列数公式 课件（19页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 第五章 计数原理 5.2.2 排列数公式 1.能用计数原理推导排列数公式； 2.掌握几种有限制条件的排列，能用排列数公式解决简单的实际问题． 情景：在某次家长座谈会中，要给参会的30位学生家长安排座位，一共有多少种坐法？这样的排列顺序问题能否快速计算呢？ 排列数的定义： 我们把从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，并用符号表示. m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 思考：研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？ 排列的第一个字母 元素总数 取出元素数 探究：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 (m≤n) 是多少？ 分析：可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 . 根据前面的求解经验，可以这样考虑： 假定有排好顺序的两个空位，如图所示， 从 n 个不同的元素中取出 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，因此，所有不同填法的种数就是. 现在我们计算有多少种填法，完成填空这件事可分为两个步骤： 第1步：填第1个位置的元素，可以从这n个元素中任选1个，有n种方法； 第2步：填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任选1个，有(n-1)种方法； 根据分步乘法计数原理，2 个空位的填法种数为 = n(n-1). 第1位 第2位 第3位 n-2 n n-1 同理，求排列数按依次填3个空位来考虑，有=n(n-1)(n-2). 如图，假定有排好顺序的 m 个空位，从 n 个不同元素中取出 m 个元素去填空，一个空位填 1 个元素，每一种填法就对应一个排列. 归纳总结：求排列数可以按依次填 m 个空位来考虑： · · · 第1位 第2位 第3位 第m位 n n-1 n-2 n-m+1 填空可分为 m 个步骤： 第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位上，有n种选法； 第2步，从剩下的(n-1)个元素中任选1个填第2位上，有(n-1)种选法； 第3步，从剩下的(n-2)个元素中任选1个填在第3位上，共有(n-2)种选法； …… 第m步，从剩下的n-(m-1)个元素中任选1个填第m位上，共有n-m+1种选法； 根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2) (n-m+1). 这样，我们就得到公式： =n(n-1)(n-2) (n-m+1). 这里，m，n∈N*，并且m ≤ n；这个公式叫做排列数公式. 公式特点： 1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n - m + 1)； 全排列数： 从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的一个全排列. 全排列数为： 排列数公式： 阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为 n 的阶乘，用 表示， 即 思考：排列和排列数的区别？ “一个排列”是指从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法； “排列数”是指从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列． 例1：计算：（1） 解：根据排列数公式可得： （1） （2） （3） （4） = 6×5×4×3×2×1 = 720. 归纳总结：排列数的计算方法 （1）排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意，连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． （2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． 思考：由例题可以看出 观察这两个结果，你发现了它们的共性了吗？ ； 即 （排列数公式的阶乘形式） 排列数公式的应用： ... ...