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课件网) 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 第1课时 角的平分线的画法 课堂小结 随堂演练 获取新知 问题导入 例题精讲 问题导入 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 怎样得到一个角的角平分线呢？ 方法一：用量角器量角的度数可以找出一个角的平分线. 获取新知 方法二：通过折纸可以得到一个角的角平分线.在半透明纸上任画∠AOB，折叠使射线OA，OB重合，得到的射线OP就是∠AOB的平分线. A O B O P A（B） O P A B 作法： 1.以____为圆心，_____长为半径作弧，分别交OA,OB于点M、N； 2.分别以 _____ 为圆心， _____的长为半径,在角的内部作弧，两弧交于点____； 3.作射线_____； 则_____为所求作∠AOB的平分线. 点O 任意 M、N 大于 P OP OP 方法三：尺规作图 A B N M P O 想一想：为什么OP是角平分线呢？ B A N M P O 已知：OM=ON，MP=NP. 求证：OP平分∠AOB. 证明：在△OMP和△ONP中， OM=ON， MP=NP， OP=OP， ∴ △OMP ≌ △ONP,（SSS） ∴∠MOP=∠NOP, 即OP平分∠AOB. 作图依据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：SSS． 拓展：根据角平分线的作法可以作已知角的四等分线． 易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线”时，不能简单地叙述为“连接两点”，连接两点是线段，角平分线是射线而不是线段． ①作法中“以适当长为半径”的目的是为方便作图，不能太大或太小； ②“大于 EF的长为半径画弧”是因为若以小于或等于 EF的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交或交点不明显． 注 意 问题：当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？ A B O P 发现问题：平角的角平分线与平角所在直线垂直。 提出问题：如何经过一点作已知直线垂线？ 方案设计：由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分两种情况： B A C C B A 点C在直线AB上 点C在直线AB外 已知：直线AB和AB上一点C（如图）. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：作平角∠ACB的平分线CF. 直线CF就是所求作的垂线. 1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁； 2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线 A B C D E F K （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E； （3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F; （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. A B C E F K D 连接CD，CE, DF，EF， 证明： ∵CD=CE， ∴C点在线段DE的垂直平分线上. ∵DF=EF， ∴F点在线段DE的垂直平分线上， ∴CF是线段DE的垂直平分线， ∴CF⊥DE,即CF⊥AB. 思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？ 你能说说道理吗？ A B C 例1 已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。 （1）作∠B的平分线BD交AC于点D ； 过D点作AB的垂线交AB于点E； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） （2）求证：△ADE ≌ △BDE. 例题精讲 A B C D E (2)证明： ∵DE⊥AB， ∴ ∠AED=∠BED=90°. ∵BD平分∠ABC，∠B=60°， ∴ ∠DBE=30°. ∵∠A=30°， ∴ ∠A=∠DBE. 在△ADE和△BDE中， ∴ △ADE ≌△BDE(AAS). DE=DE， ∠A=∠DBE， ∠AED=∠BED， ∵ 解：(1)如图所示， BD，DE即为所求. 例2 如图,已知△ABC,只用直尺和圆规作出△ABC的高AD.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 解:如图,线段AD就是所要作的高. 随堂演练 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图， 则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( ) A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 A 2.如图所示的作图痕迹作的是 （ ） A.线段的垂直平分线 B.过一点作已知直线的垂线 C.一个角的平分线 D. ... ...
