5.3 实际问题与一元一次方程 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025-2026学年人教版数学七年级上册 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程（讲义） 姓名： 班级： 学习目标 初步学会分析实际问题中的数量关系，能找出题目中的等量关系。 能根据等量关系列出一元一次方程，解决简单的实际问题。 掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤。 体会数学建模思想，感受数学与现实生活的联系，提高应用数学的意识和能力。 知识点梳理 （一）列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列一元一次方程解决实际问题，关键在于把实际问题转化为数学问题（即建立方程模型）。其一般步骤可以概括为： 审（审题）： 含义： 仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。 关键点： 找出题目中的“相等关系”或“等量关系”，这是列方程的依据。 方法： 可以圈点勾画重要信息，特别是表示数量关系的关键词，如“多”、“少”、“和”、“差”、“倍”、“分”、“是”、“比”、“占”等。 设（设未知数）： 含义： 选择一个适当的未知量用字母表示，通常设为 。 方法： 直接设元法： 问什么设什么（即求什么就设这个量为 ）。 间接设元法： 当直接设元列方程比较困难时，可以设与所求量相关的另一个量为 ，再通过这个量求出所求量。（预习阶段以直接设元为主） 注意： 设未知数时，要带上单位。 列（列方程）： 含义： 根据审题时找到的等量关系，用含未知数 的代数式表示出相关的量，然后列出方程。 核心： 将文字语言描述的等量关系，转化为用数学符号（代数式和等号）表示的方程。 关键： 确保方程两边所表示的意义相同，单位一致。 解（解方程）： 含义： 运用一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求出未知数的值。 要求： 步骤规范，计算准确。 验（检验）： 含义： 将求得的未知数的值代入原方程，检验是否使方程左右两边相等；同时，还要检验这个解是否符合实际问题的意义（如人数不能为负数，物品数量不能为分数等，除非题目允许）。 重要性： 检验是确保答案正确性的关键一步，不可忽略。 答（写出答案）： 含义： 根据检验的结果，用简洁、完整的语言写出实际问题的答案，并带上相应的单位。 注意： 答案要与题目所问相对应。 （二）常见的实际问题中的等量关系类型（部分列举，预习阶段重点理解方法） 和、差、倍、分问题： 这类问题的关键是抓住题目中表示数量关系的关键词。 例如： 是 的 倍： 比 多（大）： 比 少（小）： 与 的和是 ： 一个量增加（减少）了它的几分之几：例如，某数 增加它的二分之一后是 ，则 或 行程问题（基本类型）： 路程 = 速度 × 时间 () 相遇问题： 甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程 追及问题（同地不同时）： 前者走的路程 = 后者走的路程 追及问题（同时不同地）： 前者走的路程 + 两地距离 = 后者走的路程 工程问题（基本类型）： 通常把工作总量看作单位“1”。 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 若甲、乙合作完成一项工作，则：甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量（通常为1） 利润问题： 利润 = 售价 - 进价（成本） 利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100% 售价 = 进价 × (1 + 利润率) 或 售价 = 标价 × 折扣 等积变形问题： 形状改变，体积（或面积）不变。 例如：圆柱体积 = 底面积 × 高，长方体体积 = 长 × 宽 × 高。变形前后体积相等。 （三）列方程解应用题的关键步骤强调 “审”和“找”是前提： 准确理解题意，找出等量关系是列方程的基础。 “设”和“列”是核心： 恰当设元，根据等量关系正确列出方程。 “解、验、答”是保障： 确保求解正确，答案符合实际。 知识点总结 核心思想： 列一元一次方程解决实际问题的核心是“用字母表示未知 ... ...