22.2 二次函数与一元二次方程 讲义 2025-2026学年人教版（2012）九年级上册

二次函数与一元二次方程讲义2025-2026学年 人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程。 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点二：抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 知识点三：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 知识点四：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【典型例题与巩固练习】 类型一：二次函数图象与坐标轴交点 【典型例题】 例1．如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个交点的坐标是 . 【巩固训练】 1.抛物线与轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 2.抛物线与x轴交点的横坐标是（ ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 3.抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（ ） A． B． C． D． 类型二：二次函数图象与x轴的公共点个数 【典型例题】 例2．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【巩固训练】 1．已知二次函数与轴的一个交点，则值为（ ） A． B． C．或 D．任何实数 2.关于的函数与轴有交点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 3.如图，二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点作直线轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 类型三：二次函数与一元二次方程的关系 【典型例题】 例3.二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（ ） A． B．， C．， D．， 【巩固训练】 1.已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是_____． 2．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ． 3．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为_____． 类型四：抛物线与不等式的关系 【典型例题】 例4．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 【巩固训练】 1．如图，由二 ... ...