2026年中考数学二次函数专题复习讲练 专题18 二次函数与三角函数（含答案）

专题18 二次函数与三角函数 第一部分：基础知识储备 二次函数与三角函数问题通常会涉及相似、线段倍数关系和取值范围问题，不清楚的先学前面对应方法。初中锐角三角函数是定义在直角三角形中，所以遇见三角函数常见方法有两种： 一、作垂直构造直角三角形。 可以过不同顶点来作，所以辅助线通常不止一种。 二、转化等角。 等角的三角函数值必然相同，这两个等角所在直角三角形必然相似。所以有三角函数的地方经常会出现相似三角形和勾股定理。 常见的转化等角的方法： 1、对顶角、内错角、同位角相等； 2、等边对等角； 3、作对称； 4、同角的余角(补角)相等； 5、三角形内角和180°和一个外角等于不相邻两个内角和； 6、同弧所对圆周角相等； 7、中间量等角转化； 第二部分：典型例题分析 例1(山东日照)已知：抛物线 经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)如图1,点P为直线BC上方抛物线上任意一点,连PC、PB、PO,PO交直线BC于点E,设 k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值； (3)如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D. ①求 的周长及 的值； ②点M是y轴负半轴上的点，且满足 (t为大于0的常数)，求点M的坐标. 【解答】(1)∵抛物线 c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3),∴设y=a(x+1)(x-3),,将C(0,3)代入，得a(0+1)(0-3)=3,解得： ∴抛物线的解析式为 (2)如图1,过点P作. 轴交直线BC于点H，： , 设直线BC的解析式为y= kx+n,∵B(3,0),C(0,3), 解得： ∴直线BC的解析式为y=-x+3,设点 则 ∴当 时，k取得最大值 此时， (3)①如图2,过点Q作( 于点T，则∠ -4,∴抛物线对称轴为直线x=1,∴Q(1,0),∴OQ=1,BQ=OB-OQ=3-1=2,∵点C关于x轴的对称点为点D,∴D(0,-3),∵B(3,0),∴OB=OD=3,∵∠BOD=90°,∴DQ=√OQ +OD = 的周长： 在 中,∵∠BOD=90°,OB=OD,∴∠DBO=∠BDO=45°,∵∠BTQ=90°,∴△BQT是等腰直角三角形，. ②设M(0,-m),则OM=m,BM=√OB +OM = +m = +m ,MQ= Q +OM = 艮 整理得， 即 当 即 时， 或 例 2 (广州二模)在平面直角坐标系xOy中，( ：二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)且.AB=4,，与y轴交于点C. (1)求二次函数的表达式； (2)将△ACB绕AB的中点Q旋转180°,得到△BDA,若点M是线段AD上一动点,MB⊥NB交直线AC于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点D向点A运动时. ①求tan∠NMB的值如何变化 请说明理由； ②求点到达点A时，直接写出点P经过的路线长. 【解答】 当x=-1时,y=0,∴A(-1,0),∵AB=4,A(-1,0),∴抛物线对称轴为: ∴抛物线 的表达式为 (2)①tan∠NMB的值为定值,不发生变化; 如图1中， Rt△AOC中,OA=1,OC= ,∴∠ACO=30°,∠OAC=60°,Rt△BCO中,OB=3, ∴BC= 由旋转得:∠D=∠ACB=90°,∠ABD=∠OAC=60°,D(2, ),∴∠CBD=90°, ∴四边形ADBC是矩形,∵B(3,0),D(2, ),∴BD=√(3-2) +( ) =2,∵∠MBN=∠DBC=90°, ∴∠DBM=∠CBN,∵∠MAN=∠MBN=90°,∴M,A,N,B四点共圆,∴∠DMB=∠BNC, ∴tan∠NMB的值为定值，不发生变化； ②如图2，当M在点D时，P与Q重合，当M与A重合时，P在直线AC上，∴点P经过的路线长是线段PQ的长,Rt△MBN中,. ∵Q是AB的中点,P 是MN的中点,∴PQ是△ABN的中位线, 即点M到达点A时，点P经过的路线长是 例 3 (辽宁丹东一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，A点坐标为(-4,0),,与y轴交于点C,且C点坐标为(0,2). (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D为第二象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F，当线段CD=CF时，求点D的坐标； (3)在(2)的条件下，设抛物线上点A与点D之间有一点P(包括A、D两点)，在线段EA上是否存在点Q，使得以P、Q、E为顶点的三角形与 相似 如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)设过点C ... ...