专题15 二次函数与阿氏圆 第一部分：基础知识储备 一、阿氏圆 在前面的"胡不归"问题中，我们见识了"kPA+PB"最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的"阿氏圆"问题. 已知平面上两点A、B，则所有满足 的点 P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称"阿波罗尼斯圆"简称"阿氏圆".如图，其中 二、两个定理 1、角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则 【证明】 过点D分别作AB、AC的垂线分别交于点E、F ∵AD平分∠BAC,∴DE=DF,∴△ABDC=ABCAD 又 2、外角平分线定理：如图，在△ABC中，∠CAE的平分线AD交BC 的延长线于点D，则 【证明】 在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接ED, 则△ACD≌△AED(SAS), ∴CD=ED且AD 平分∠BDE, 即 三、阿氏圆模型证明 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k(k≠1)，则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” 【证明】 如图， 作∠APB的角平分线交 AB于M 点, 根据角平分线定理， 故M 点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB 外角平分线交直线B于N 点， 根据外角平分线定理， 故N点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB于定点； ∵∠MPN=90°,定边对定角,∴P 点轨迹是以MN 为直径的圆. 四、阿氏圆的一些性质 应用：根据A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O的位置； (2)△OPA∽△OBP(母子相似),即可得:OP =OA·OB 应用：根据圆心及半径和A、B中的其中一点，可求得A、B另外一点位置； 应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道 的值. 五、阿氏圆求加权线段和破解通法 【例题】:如图,在Rt△ABC中, ⊙O的半径为2，P为圆上一动点，求.AP+ BPt的最小值. 【解答】: 第一步：连圆心与动点CP； 第二步：以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP；(缩小型内构，扩大型外构) 第三步：线段替换， 第四步：计算CM的长度， 即4=CM×4,∴CM=1; 第五步： 【通用解题步骤总结】 1.提：根据具体题目看是否提系数，若不需要提系数此步省略； 2.连：接动点至圆心0(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接)，则连接OP、OB； 3.构：以半径OP为公共边构造“母子”型相似，缩小型内构，扩大型外构；即构造 则 k,PC=kBP; 4.算：利用步骤3中的相似平方关系(OP =OC·OB，计算圆心与构造点之间的距离即OC的长； 5.连:连接AC,(1)PA+kPB=PA+PC≥AC,当点P在线段AC上时取最小值,连接AC,与圆交点即为点P;(2)PA-kPB=PA-PC≤AC,当点P在线段AC延长线上时取最大值,连接AC并延长AC与圆交点即为点P； 6.计算AC长度即可. 第二部分：典型例题分析 例 1如图，在直角 中， 圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP. 求①.AP+ BP;②2AP+BP;③ AP+BP;④AP+3BP的最小值. 【解答】①取CE的中点F,连结PF,AF, ,当P在AF上时,AP+PF最小，最小值为AF的长， 的最小值为 的最小值为 ③在DC取一点G，使 当P在BG上B, 的最小值为 的最小值为 例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C(0，6)，抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE. (1)求抛物线的表达式； (2)判断 的形状，并说明理由； (3)如图2,以C为圆心, 为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 【解答】(1)∵抛物线的顶点坐标为E(2，8)，∴设该抛物线的表达式为 ∵与y轴交于点C(0,6),∴把点C(0,6)代入得: ∴该抛物线的表达式为 是直角三角形.理由如下： ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y=0,则 解得： ∴A( , ∴BE =BC +CE ,∴∠BCE=90°,∴△BCE是直角三角形; (3)⊙C上存在点P,使得 的值最小且这个最小值为 ... ...
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