2.2平方根与立方根 讲义（考试版+解析版） 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.1 平方根与立方根 学习目标 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，知道乘方与开方互为逆运算。 会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 能熟练地求出一个非负数的平方根、算术平方根以及一个数的立方根，并能运用相关知识解决实际问题。 知识点讲解 （一）平方根 定义：如果一个数(x)的平方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的平方根（也叫做二次方根）。例如，因为，所以是(4)的平方根。 表示方法：正数(a)的平方根可表示为，读作“正负根号(a)”，其中表示(a)的正平方根（又叫算术平方根），表示(a)的负平方根。例如，(9)的平方根表示为，，。 性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数。 (0)的平方根是(0)。 负数没有平方根。 （二）算术平方根 定义：正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，(0)的算术平方根是(0)。例如，(4)的算术平方根是。 性质： 算术平方根具有双重非负性，即且。 （三）立方根 定义：如果一个数(x)的立方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为，所以(2)是(8)的立方根。 表示方法：数(a)的立方根用符号表示，读作“三次根号(a)”。例如，(-8)的立方根表示为。 性质： 正数的立方根是正数。 负数的立方根是负数。 (0)的立方根是(0)。 例题解析 （一）平方根相关例题 求(144)的平方根。 已知，求(x)的值。 若有意义，求(a)的取值范围。 （二）算术平方根相关例题 求(0.64)的算术平方根。 已知，求(x)的值。 （三）立方根相关例题 求(-27)的立方根。 已知，求(x)的值。 巩固练习 （一）选择题 (16)的平方根是（ ） A. (4) B. (-4) C.. 下列说法正确的是（ ） A. (0)没有算术平方根 B. 一个数的算术平方根一定是正数 C. 一个数的立方根一定比这个数小 D. 一个非零数的立方根，仍然是一个非零数 的算术平方根是（ ） A. (2) B. . . （二）填空题 (25)的算术平方根是_____。 的值为_____。 若，则。 （三）解答题 求(81)的平方根与算术平方根。 已知，求(xy)的值。 求的值。1.1 平方根与立方根 学习目标 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，知道乘方与开方互为逆运算。 会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 能熟练地求出一个非负数的平方根、算术平方根以及一个数的立方根，并能运用相关知识解决实际问题。 知识点讲解 （一）平方根 定义：如果一个数(x)的平方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的平方根（也叫做二次方根）。例如，因为，所以是(4)的平方根。 表示方法：正数(a)的平方根可表示为，读作“正负根号(a)”，其中表示(a)的正平方根（又叫算术平方根），表示(a)的负平方根。例如，(9)的平方根表示为，，。 性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数。 (0)的平方根是(0)。 负数没有平方根。 （二）算术平方根 定义：正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，(0)的算术平方根是(0)。例如，(4)的算术平方根是。 性质： 算术平方根具有双重非负性，即且。 （三）立方根 定义：如果一个数(x)的立方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为，所以(2)是(8)的立方根。 表示方法：数(a)的立方根用符号表示，读作“三次根号(a)”。例如，(-8)的立方根表示为。 性质： 正数的立方根是正数。 负数的立方根是负数。 (0)的立方根是(0)。 例题解析 （一）平方根相关例题 求(144)的平方根。 解析： 因为，所以(144)的平方根是，即。 已知，求(x)的值。 解析： 因为，根据平方根的定义，(x)是(25)的平方根，又因为，所以。 若有意义，求(a)的取值范围。 解析： 因为算术平方根具有双重非负性，所以， 移项可得。 （二）算术平方根相关例题 求(0.64)的算术平方根。 解析： 因为，所以(0.64)的算术平方根 ... ...