(课件网) 第二课时 基本不等式的应用 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能 使鸡舍面积最大？ 【问题】 实例中问题的实质是什么？如何求解？ 知识点 基本不等式与最值 当 x ， y 均为正数时，下面的命题均成立： （1）若 x ＋ y ＝ s （ s 为定值），则当且仅当 x ＝ y 时， xy 取得最大 值 ； （2）若 xy ＝ p （ p 为定值），则当且仅当 x ＝ y 时， x ＋ y 取得最小 值 . 提醒 利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等： ①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定 值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 2 1. 如图所示，矩形 ABCD 的边 AB 靠在墙 PQ 上，另外三边是由篱笆围 成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形 ABCD 所需要篱笆的（ ） A. 最小长度为8 C. 最大长度为8 解析： 设 BC ＝ a ， a ＞0， CD ＝ b ， b ＞0，则 ab ＝4，所以围 成矩形 ABCD 所需要的篱笆长度为2 a ＋ b ＝2 a ＋ ≥2 ＝4 ，当且仅当2 a ＝ ，即 a ＝ 时取等号，此时长度取得最小值4 .故选B. 2. 已知0＜ x ＜1，则 x （1－ x ）的最大值为 ，此时 x ＝ . 解析：因为0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤ ＝ ＝ ，当且仅当 x ＝1－ x ，即 x ＝ 时“＝” 成立，即当 x ＝ 时， x （1－ x ）取得最大值 . 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 利用基本不等式求最值 【例1】 （1）已知 x ＜ ，求 y ＝4 x －2＋ 的最大值； 解：∵ x ＜ ，∴5－4 x ＞0， ∴ y ＝4 x －2＋ ＝－ ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4 x ＝ ，即 x ＝1时，等号成立， 故当 x ＝1时， ymax＝1. （2）已知0＜ x ＜ ，求 y ＝ x （1－2 x ）的最大值； 解：∵0＜ x ＜ ，∴1－2 x ＞0， ∴ y ＝ ×2 x （1－2 x ）≤ × ＝ × ＝ ，∴当且 仅当2 x ＝1－2 x ，即 x ＝ 时， ymax＝ . （3）当 x ＞0时，求函数 y ＝ 的最大值. 解：∵ x ＞0，∴ ＝ ≤ ＝1，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝1 时取等号.故函数 y ＝ 的最大值为1. 通性通法 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定 值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆———裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整 式分离———分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母 的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件； （2）并———分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等 式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用 基本不等式得出最值； （3）配———配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值， 常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式 与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的 系数后，使积式中的各项之和为定值. 【跟踪训练】 1.3 x2＋ 的最小值是（ ） B. 3 解析： 3 x2＋ ＝3（ x2＋1）＋ －3≥2 －3＝2 －3＝6 －3，当且仅当 x2＝ － 1时等号成立，故选D. 2. 已知 a ＞0， b ＞0，则4 a ＋ b ＋ 的最小值是（ ） A. 2 C. 4 D. 5 解析： ∵ a ＞0， b ＞0，∴4 a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝4 ＋ ≥2 ＝4，当且仅当即 a ＝ ， b ＝1 时，等号成立，此时4 a ＋ b ＋ 取得最小值4. 题型二 利用基本不等式求条件最值 【例2】 已知 x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝1，求 x ＋ y 的最小值. 解：∵ x ＞0， y ＞0， ＋ ＝1， ∴ x ＋ y ＝ （ x ＋ y ） ＝ ＋ ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当 ＝ ，即 x ＝4， y ＝12时，上 ... ...
