(
课件网) 2.3.2 抛物线的简单几何性质 学习目标 1.掌握抛物线的简单几何性质，体现数学抽象能力（重点） 2.了解抛物线几何性质的简单应用，体现逻辑推理能力（重点） 3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同，体现逻辑推理能力（难点） 新课导入 前面我们由椭圆和双曲线的方程，讨论了它们的几何性质，下面我们继续通过抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质． 思考一下：回顾一下我们对椭圆和双曲线的研究，想一想我们可以从哪几个方面来研究抛物线的几何性质呢？ 我们可以从抛物线的范围，对称性，顶点，离心率及准线等方面来研究抛物线的性质. 这节课我们来研究抛物线的几何性质. 新课学习 根据抛物线的标准方程 和图象研究它的几何性质． y2=2px ① 1.范围 由方程①可知，对于抛物线①上的任意一点M(x,y)，都有x≥0，y∈R，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口向右； 当x的值增大时，|y|也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 新课学习 2.对称性 根据方程①的结构特点，可以发现：若(x0,y0)满足方程①，则: (-y0)2=2p·(x0) y02=2p·(x0) 把(x0,-y0)代入 则(x0,-y0)也满足方程①，所以抛物线y2=2px(p>0)是关于x轴对称的曲线． 3.顶点 抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点． 在方程①中，当y=0时，x=0，因此，抛物线的顶点就是坐标原点． 新课学习 抛物线的离心率的概念 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e表示． 由抛物线的定义可知e=1． 新课学习 抛物线的标准方程 在平面直角坐标系中，顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应地也有四种形式，它们都叫作抛物线的标准方程，设焦点到准线的距离为p(p>0)，则抛物线标准方程的四种形式分别为： y2=2px(p>0)，y2=-2px(p>0)，x2=2py(p>0)和x2=-2py(p>0) 新课学习 总结一下： 新课学习 思考一下：四种位置不同的抛物线和它们的标准方程的相同点？ 1.顶点都为原点； 2.对称轴为坐标轴； 3.准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称．它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 4.焦点到准线的距离均为p． 新课学习 思考一下：四种位置不同的抛物线和它们的标准方程的不同点？ 2.开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同．焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号； 开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上方程的右端取负号． 1.对称轴为x轴时方程的右端为±2px； 左端为 y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py ，左端为x2； 新课学习 例3：求顶点在原点，经过点 ，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程． 因为点 在第四象限， 所以若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0) 因为点 在抛物线上，所以 解得2p= ，所求抛物线的标准方程为 ．如图（1）． 若y轴是抛物线的对称轴，同理可得抛物线的标准方程为 如图（2） 新课学习 例4:已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程. 如图，点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，即“点M到点F(4,0)的距离等于它到直线l':x+4=0的距离”. 由此可知，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点，以直线l':x+4= 0为准线的抛物线. 故点M的轨迹方程是y2=16x. 新课学习 例5:已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标. 解法1: 由抛物线方程y2=4x，可得焦点F(1，0). 设点P的坐标为(x0，y0)，依题意有 ① ② 将①代入②，消去y0，然后两边平方，得(x0-1)2+4x0=25， 解得x0=-6或x0=4. 将x0=-6代入①，得y02=-24无解，故舍去； 将x0=4代入①，得y02=16，即y0=±4. ∴点P的坐标为(4，4)或(4，-4 ... ...
