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课件网) 3.4.3.1 空间中的角 (第二课时) 学习目标 1.会用向量法求二面角的大小，体现逻辑推理能力（重点） 2.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系，体现数学抽象能力（难点） 新课导入 复习一下：上一节课我们学习了直线与直线形成的角和直线与平面形成的角的向量求法，那么它们的公式是什么？ 两条直线形成的角：cos θ＝|cos〈a，b〉| 直线与平面形成的角：sin θ＝|cos〈l，n〉| 在以前我们学过两个平面形成的角，那么，根据前面学习的知识，让我们研究一下两个平面形成的角的向量求法吧. 新课学习 思考一下：我们知道,两个平面相交形成四个二面角,那么二面角的平面角与两个平面的法向量存在怎样的关系呢？下面选择其中一个来研究. 如图，过二面角α-l-β内一点P作PA⊥α于点A，作PB⊥β于点B， 则 (或 )是平面α的一个法向量， (或 )是平面β的一个法向量. 设平面PAB交直线l于点O，连接AO，BO， 不难证明：l⊥平面PAB，于是∠AOB就是二面角α-l-β的平面角. 新课学习 思考一下：我们知道,两个平面相交形成四个二面角,那么二面角的平面角与两个平面的法向量存在怎样的关系呢？下面选择其中一个来研究. 因为在四边形PAOB中，∠PAO=∠PBO= 所以 新课学习 思考一下：二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉的关系？ 一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图(1))或互补(如图(2)). 新课学面与平面的夹角的概念 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角， 我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 设平面α与平面β的夹角为θ，则 新课学习 利用向量法求二面角的步骤: 1.建立空间直角坐标系； 2.分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； 3.求两个法向量的夹角； 4.判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； 5.确定二面角的大小. 新课学习 例10:如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角. 由AA'⊥平面ABCD，可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. 因为A'(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)， 所以 设n2=(x,y,z)是平面A'DC的一个法向量，则 新课学习 例10:如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角. 即 所以取n2=(0,1,1)，得 由图可知二面角A'-DC-A的平面角为锐角，所以，平面角为 新课学习 例11:如图，已知二面角α-l-β的平面角为 ，点B，C在棱l上， AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的长. 因为AB⊥l，CD⊥l，二面角α-l-β的平面角为 所以 因为 所以 新课学习 总结一下：利用空间向量求空间角的基本思路 利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的夹角来求． 1.首先要找到并表示出相关向量，常用的两种方法是坐标法、基向量法，解题时要灵活掌握； 2.其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系； 3.最后利用两个向量的夹角公式求出空间角． 新课学习 练一练：如图所示，已知四棱锥S-ABCD 中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形， ∠DAB=∠ABC=90°，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值. 依题意，AD，AB，AS两两互相垂直.以A为点 ， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，AD的长为单位长度，建立如题图所示的空间直角坐标系. 则 A(0,0,0),S(0,0,3),C(3,3,0),D(1,0,0) 所以 设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z) 新课学习 练一练：如图所示，已知四棱锥S-ABCD 中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形， ∠DAB=∠ABC=90°，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值. 则 令x=3,可得y=2，z=1 ，此时n=(3,-2,1) . 因为 所以可知所求角的 ... ...
