考点5：半角模型 1．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长． 2．在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上． （1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF； （2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 3．如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 4．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接EM，AE，且使得． 求证：；（2）求证：. 6．如图所示，在中，，，的两边交边于，两点，将绕点旋转 （1）画出绕点顺时针旋转后的； （2）在（1）中，若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，直接写出的长. 7．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM. （1）求证：EF=FM （2）当AE=1时，求EF的长． 8．如图：E、F分别是正方形ABCD的边CD、DA上一点，且CE+AF=EF，请你用旋转的方法求∠EBF的大小． 9．如图，，，点、分别在边、上，，过点作，且点在的延长线上． （1）与全等吗？为什么？ （2）若，，求的长． 10．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher 更多见微信公众号：数学第六感，微信公众号：数学三剑客，微信公众号：ABC数学 参考答案 解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C， 截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°． ∵CE⊥BC， ∴∠ACE＝∠B＝45°． 在△ABM和△ACE中， ∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE． ∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠BAM＋∠CAN＝45°． 于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°． 在△MAN和△EAN中， ∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN＝EN． 在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2． ∴MN2＝BM2＋NC2． ∵BM＝1，CN＝3， ∴MN2＝12＋32， ∴MN＝． 2．【详解】 （1）∵ DB⊥AM，DC⊥AN， ∴ ∠DBE=∠DCF=90°． 在△BDE和△CDF中， ∵ ∴ △BDE≌△CDF（AAS）． ∴ DE=DF． （2）过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G． 在△BDE和△CDG中， ∵ ∴ △BDE≌△CDG（ASA） ∴DE=DG，BE=CG． ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°， ∴ ∠BDE+∠CDF=60°． ∴ ∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°． ∴ ∠EDF=∠GDF． 在△EDF和△GDF中， ∴ △EDF≌△GDF（SAS）． ∴ EF=FG． ∴ EF=FC+CG=FC+BE． 3．【详解】 如解图，将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合． ∴，． ∵． ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 4．解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 在△ADF和△ABG中 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF=AG，∠DAF=∠GAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠E ... ...
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