第三章 3 指数函数 第二课时　指数函数及其性质的应用（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）必修 第一册

第二课时　指数函数及其性质的应用 题型一 指数式的大小比较 【例1】　比较下列各组数的大小： （1）1.52.5和1.53.2； 尝试解答 （2）与； （3）1.50.3和0.81.2. 尝试解答 通性通法 比较指数式大小的3种类型及处理方法 【跟踪训练】 比较下列各题中两个值的大小： （1）0.8－0.1，1.250.2； （2）1.70.3，0.93.1； （3）a0.5与a0.6（a＞0，且a≠1）. 题型二 解指数型不等式或方程 【例2】　求解下列不等式： （1）已知3x≥，求实数x的取值范围； （2）若a－5x＞ax＋7（a＞0且a≠1），求x的取值范围. 尝试解答 通性通法 1.指数型不等式的求解方法 （1）指数型不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，且a≠1）的解法：当a＞1时，f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，f（x）＜g（x）； （2）如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0（a＞0，且a≠1），a－x＝（a＞0，且a≠1）等. 2.指数型方程的求解方法 （1）同底法：形如af（x）＝ag（x）（a＞0，且a≠1）的方程，化为f（x）＝g（x）求解； （2）换元法：形如a2x＋b·ax＋c＝0（a＞0，且a≠1）的方程，用换元法求解，求解时应特别注意ax＞0. 【跟踪训练】 1.已知方程81×32x＝，则x＝　　　　. 2.设0＜a＜1，则关于x的不等式＞1的解集为　　　　. 题型三 指数型函数的单调性 【例3】　判断f（x）＝的单调性，并求其值域. 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件，变设问）若函数y＝｜2x－1｜在（－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是　　　　. 2.（变条件，变设问）把本例的函数变为“f（x）＝”，求其单调区间. 通性通法 函数y＝af（x）（a＞0，a≠1）的单调性的处理技巧 （1）指数型函数y＝af（x）（a＞0，且a≠1）的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f（x）的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f（x）复合而成； （2）求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f（u），u＝φ（x），通过考查f（u）和φ（x）的单调性，求出y＝f（φ（x））的单调性. 【跟踪训练】 1.画出函数y＝2－｜x｜的图象，并根据图象求函数的单调区间. 2.函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值. 题型四 指数函数性质的综合应用 【例4】　已知定义在R上的函数f（x）＝a＋是奇函数. （1）求a的值； （2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）； （3）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围. 尝试解答 通性通法 解决指数函数性质的综合问题的注意点 （1）注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧； （2）解答函数问题注意应在函数定义域内进行； （3）由于指数函数的单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝·x3. （1）求f（x）的定义域； （2）讨论f（x）的奇偶性； （3）证明：f（x）＞0. 1.方程42x－1＝16的解是（　　） A.x＝－　　　　　　 B.x＝ C.x＝1　　 D.x＝2 2.若函数f（x）＝（1－2a）x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A.　　 B. C.　　 D. 3.函数y＝的单调递增区间为（　　） A.（－∞，＋∞）　　 B.（0，＋∞） C.（1，＋∞）　　 D.（0，1） 4.（多选）下列大小关系正确的有（　　） A.22.1＞2.12 B.23.9＜3.92 C.＜ D.（＜（ 5.不等式＞5x＋1的解集是　　　　. 第二课时　指数函数及其性质的应用 【典型例题·精研析】 【例1】　解：（1）∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2， ∴1.52.5＜1.53.2. （2）作出指数函数y＝与y＝的图象（如图）， 由图知＞. （3）由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1， 而0.81.2＜0.80＝1，∴ ... ...