一、数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.在本章中主要表现为理解向量的基本概念. 培优一 平面向量的基本概念 【例1】 （1）（多选）下列命题中，其中正确的是（ ） A.a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa B.e为单位向量，且a∥e，则a＝±｜a｜e C.｜a·a·a｜＝｜a｜3 D.若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c （2）若向量a＝（x，2），b＝（2，3），c＝（2，－4），且a∥c，则a在b上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 尝试解答 二、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及解三角形中. 培优二 平面向量的线性运算 【例2】 （1）在△ABC，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（ ） A.－ B.－ C.＋ D.＋ （2）如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为（ ） A. B. C. D.2 尝试解答 培优三 平面向量的数量积运算 【例3】 （1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（ ） A.－2 B.－1 C.1 D.2 （2）（2022·全国甲卷13题）设向量a，b的夹角的余弦值为，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝ . 尝试解答 培优四 利用正、余弦定理解三角形 【例4】 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，cos B＝. （1）求△ABC的面积； （2）若sin Asin C＝，求b. 尝试解答 三、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形状等问题中. 培优五 平面向量的应用 【例5】 （1）O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所在平面内的一动点，若（－）·（＋）＝（－）·（＋）＝0，则O为△ABC的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 （2）若＝（a＋5b），＝－2a＋8b，＝3（a－b），则共线的三点是 . 尝试解答 培优六 判定三角形的形状 【例6】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sin B·sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 尝试解答 培优七 向量在平面几何中的应用 【例7】 如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC. 尝试解答 四、数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中主要表现在利用正弦、余弦定理解决实际问题中. 培优八 余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用 【例8】 某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点A，B的距离为 m，测得∠MBA＝θ，∠MAB＝－θ，其中sin θ＝，在A点处测得旗杆顶点的仰角为φ，sin φ＝，则该旗杆的高度为（单位：m）（ ） ... ...
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