一、数学抽象 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在复数的基本概念中. 培优一 复数的概念 【例1】 （1）设i是虚数单位，若复数a＋（a∈R）是纯虚数，则a＝（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 （2）i是虚数单位，复数z＝a＋i（a∈R）满足z2＋z＝1－3i，则｜z｜＝（ ） A.或 B.2或5 C. D.5 （3）若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（ ） A.0 B.－1 C.1 D.－2 尝试解答 二、数学运算 数学运算在本章中主要体现在复数代数形式的四则运算、复数范围内解方程及三角形式的乘、除运算中.通过复数的四则运算进一步培养学生的数学运算核心素养. 培优二 复数的四则运算 【例2】 （1）（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（ ） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i （2）（2024·全国甲卷1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（ ） A.10i B.2i C.10 D.2 （3）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝，则z－＝（ ） A.－i B.i C.0 D.1 尝试解答 培优三 复数范围内解方程 【例3】 已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0. （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根； （2）证明：对任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程无纯虚数根. 尝试解答 培优四 复数三角形式的乘、除运算 【例4】 计算：（1）2×3（ cos ＋isin ）； （2）8（cos 85°＋isin 85°）÷[（cos 25°＋isin 25°）]. 尝试解答 三、直观想象 在本章中直观想象主要体现在复数的几何意义与复数乘、除法的几何意义等问题中. 培优五 复数的几何意义 【例5】 （1）（2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝（ ） A.0 B.1 C. D.2 （2）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 尝试解答 【例6】 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. 尝试解答 培优六 复数中的证明问题 【例7】 设z∈C，且｜z｜＝1，但z≠±1，求证：是纯虚数. 尝试解答 章末复习与总结 【例1】 （1）C （2）C （3）A 解析：（1）∵a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，∴a－2＝0，即a＝2.故选C. （2）∵z2＋z＝（a＋i）2＋a＋i＝a2－1＋a＋（2a＋1）i＝1－3i，∴解得a＝－2.∴z＝－2＋i，故｜z｜＝＝.故选C. （3）∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.故选A. 【例2】 （1）C （2）A （3）A 解析：（1）法一 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 法二 由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. （2）因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i（＋z）＝10i，故选A. （3）由题意，得z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A. 【例3】 解：（1）原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0，设方程的实数根为x0， 则即 又θ是锐角，故θ＝. （2）证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R， 则－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0， 即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0， 可得－b2＋b－2＝0，解得b＝， 与假设矛盾，所以方程无纯虚数根. 【例4】 解：（1）原式 ＝6 ＝6 ＝6 ＝＋i. （2）原式＝4[cos（85°－25°）＋isin（85°－25°）]＝4（cos 60°＋isin 60°）＝4＝2＋2i. 【例5】 （1）C （2）A 解析：（1）若z＝－1－i，则｜z｜＝＝.故选C. （2）∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A. 【例6】 ... ...
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