初中数学人教版（2024）八年级上册 13.2 与三角形有关的线段 举一反三讲义（原卷版+解析版）

13.2与三角形有关的线段 【知识点1】三角形的角平分线、中线和高 1 【知识点2】三角形的稳定性 2 【知识点3】三角形的重心 3 【知识点4】三角形三边关系 3 【题型1】构成三角形的条件 4 【题型2】确定第三边的取值范围 4 【题型3】三角形三边关系的应用 5 【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 6 【题型5】三角形的稳定性 7 【题型6】三角形的角平分线 8 【题型7】三角形的中线、角平分线、高的综合 9 【题型8】利用网格求三角形的面积 11 【题型9】三角形中线的定义 12 【题型10】利用三角形的中线求长度 13 【题型11】利用三角形的中线求面积 14 【题型12】三角形的重心 16 【题型13】三角形高的定义 17 【题型14】三角形的垂心 18 【知识点1】三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 1.（2024秋 醴陵市期末）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A．B．C．D． 2.（2025春 昌黎县期末）如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　） A．BEB．AFC．CDD．DF 【知识点2】三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 1.（2024秋 乌鲁木齐期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．三角形的任意两边之和大于第三边D．三角形的内角和等于180° 【知识点3】三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 1.（2024秋 玉环市期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条中线的交点C．△ABC三条高的交点D．△ABC三条角平分线的交点 【知识点4】三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 1.（2025春 蓝田县期末）王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把（　　）分为两截． A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行 【题型1】构成三角形的条件 【典型例题】下列长度的三根木条（单位：分米）首尾顺次相接能组成三角形的是（ ） A.1，2，3 B.1，3，5 C.4，4，5 D.2，5，8 【举一反三1】下列长度的三条线段，不能首尾相接构成三角形的是 ... ...