3.1 第2课时 勾股定理的证明 课件(共24张PPT) 苏科版（2024）数学八年级上

(课件网) 第2课时　勾股定理的证明 第3章　3.1　勾股定理 1.通过拼图等数学活动，进一步验证勾股定理，发展合情推理的能力，体会数形结合思想.(重点、难点) 2.应用勾股定理解决简单的问题.(重点) 学习目标 情境引入 两千多年来，勾股定理的证明一直令人着迷.如图1、图2，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理.你还能想出其他方法证明勾股定理吗？ 一、勾股定理的证明 问题　用4张如图1所示的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ 提示　∵S大正方形=S小正方形+4S三角形， ∴(a+b)2=c2+4×ab， a2+2ab+b2=c2+2ab， ∴a2+b2=c2. 例1 (课本P90尝试第2题)连接问题图2中小正方形的对角线，可以得到如图.试利用图中的面积关系证明勾股定理. 解　如图，∵S梯形ABCD=(a+b)(b+a)=a2+ab+b2， S梯形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△ADE =ab+ab+c2 =ab+c2， ∴a2+ab+b2=ab+c2. ∴a2+b2=c2. 跟踪训练1 (课本P91习题第4题)图中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形.试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理. 解　如图，∵S多边形ABEFG=S梯形ABDG+S梯形DEFG =b[b+(a+b)]+a[a+(a+b)] =b2+ab+a2+ab =a2+b2+ab， S多边形ABEFG=S正方形ACFG+S△ABC+S△CEF =c2+ab+ab =c2+ab， ∴a2+b2+ab=c2+ab， ∴a2+b2=c2. 二、运用勾股定理解决简单的问题 某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3.若S1+S2+S3=75，则EF的长是 A.2 B.4 C.5 D.5 例2 √ 解析　设Rt△EBF的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则c2=a2+b2， 由题意，得S1=(a+b)2，S2=c2，S3=(a-b)2， ∴S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2， =a2+2ab+b2+c2+a2-2ab+b2 =c2+c2+c2 =3c2=75， ∴c2=25， 即EF2=25， ∴EF=5. “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现.如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成.连接FH，DF，若FH=，DF=，则大正方形ABCD的边长为 A.5 B. C. D. 跟踪训练2 √ 解析　由题意得AF=DE，DH=AE，∠AED=∠DEF=90°， ∴AF-AE=DE-DH， ∴EF=EH， ∵EF2+EH2=HF2，FH=2， ∴EF=EH=2， ∵DF=， ∴DE===5=AF， ∴AE=AF-FE=5-2=3， ∴AD===. 1.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是 A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.整体思想 √ 2.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 √ 解析　A项，∵4×ab+c2=(a+b)2，整理，得a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B项，根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意. C项，∵4×ab+(b-a)2=c2，整理，得a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D项，∵ab+c2+ab=，整理，得a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意. 3.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为　　　. 解析　由题意，大正方形的边长为直角三角形的斜边， 所以大正方形的面积为22+32=13. 13 4.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今.迄今为止已有400多种证 ... ...