12.4.2　线段垂直平分线 课件(共28张PPT) 数学华东师大版（2024）八年级上

(课件网) 12.4.2　线段垂直平分线 第12章　12.4　逆命题和逆定理 1.掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理.(重点) 2.运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.(难点) 学习目标 情境引入 为了确保生态安全及经济效益，某县计划在A，B，C三个村庄之间修建蓄水点，试问该蓄水点应建于何处，才能使得它到三个村庄的距离相等？ 一、线段垂直平分线的性质定理 问题1　我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点，连结PA，PB. 将线段AB沿直线MN对折，你发现点P有什么特征？并证明你的结论. 提示　PA与PB完全重合. 证明：∵MN⊥AB(已知)， ∴∠ACP＝∠BCP＝90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中， ∴△ACP≌△BCP(SAS). ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等). 知识梳理 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段 的_____相等. 注意点：(1)线段的垂直平分线必须满足：经过这条线段的中点、垂直于这条线段，两者缺一不可； (2)线段的垂直平分线是一条直线； (3)这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 两端 距离 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N.且分别交BC于点D，E.若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为 A.100° B.105° C.110° D.120° 例1 √ 解析　∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝40°，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∴∠B＋∠BAD＋∠C＋∠EAC＝180°－40°＝140°， ∴2∠BAD＋2∠EAC＝140°， ∴∠BAD＋∠CAE＝70°， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAE＋∠DAE＝70°＋40°＝110°. 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC＝10，AC＝6，则△ACD的周长是 A.14 B.16 C.18 D.20 跟踪训练1 解析　∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵BC＝10，AC＝6， ∴AC＋CD＋AD＝AC＋CD＋BD＝AC＋BC＝6＋10＝16， ∴△ACD的周长为16. √ 二、线段垂直平分线的判定定理 问题2　线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等描述了线段垂直平分线的性质，那么它的逆命题是什么？ 提示　如表. 条件 结论 性质定理 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 逆命题 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 问题3　问题2中的逆命题是真命题吗？如果是，请证明. 提示　是真命题. 已知：如图，QA＝QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明：方法一：如图，过点Q作MN⊥AB，垂足为点C. ∵QA＝QB，QC⊥AB， ∴AC＝CB(等腰三角形的三线合一). ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 方法二：如图，取AB的中点H，连结QH， ∵QA＝QB， ∴QH⊥AB(等腰三角形的三线合一)， ∴直线QH是线段AB的垂直平分线， ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 问题4　你能解决情境引入中的问题了吗？ 提示　能.建在以村庄AB，BC所在线段的垂直平分线的交点处. 知识梳理 到线段 距离 的点在线段的 上. 注意点：若要判定某条直线是线段的垂直平分线，则至少要证明这条直线上有两个点到线段两端的距离分别相等. 两端 相等 垂直平分线 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.求证：AC⊥BD. 例2 证明　∵AB＝AD，BC＝DC， ∴点A，C在BD的垂直平分线上， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD. (课本P104练习第3题)如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且BD＋AD＝BC.求证：点D在边AC的垂直平分线上. 跟踪训练2 证明　∵BD＋AD＝BC，BD＋DC＝BC， ∴AD＝CD， ∴点D在AC的垂直平分线上. 知识梳理 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 证 ... ...