北京版2024·八年级上册 一、三角形及其性质 12.2第三课时 三角形外角的性质 第十二章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和及三角形的内角和． 会利用三角形的外角性质解决问题. 能运用外角的性质角度计算问题，并分类三角形（锐角、直角、钝角）。 知识回顾 回顾三角形的内角的性质。 三角形内角和定理： 三角形按边分类： 三角形三个内角的和等于180°. 等边三角形、等腰三角形、不等边三角形 新知探究 1.三角形外角的定义 如图,D是△ABC的边BC延长线上的一点，此时，∠ACD是∠ACB的邻补角.我们称三角形的每一个内角的邻补角为外角.图中∠ACD就是△ABC的一个外角. 外角 新知探究 1.三角形外角的定义 一个三角形有几个外角？ A B C 外角 外角 外角 外角 外角 外角 一个三角形有6个内角 新知探究 1.三角形外角的定义 A B C 外角 相邻内角 不相邻内角 新知探究 思考与交流 2.三角形外角的性质 在图中，∠ACD与∠A,∠B之间有什么数量关系?试证明你的发现. 猜想：∠ACD=∠A+∠B 转化为数学问题： 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 新知探究 2.三角形外角的性质 D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 验证猜想： 新知探究 2.三角形外角的性质 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 归纳小结 典例解析 例 如图12-13,B,C,D，E是同；直线上的四点，∠B=∠BAC=30°,∠CAD等于60°，∠ADE等于多少度？ 求∠ADE，∠ADE=∠ACD+∠CAD ∠CAD=60°（已知），∠ACD=∠B+∠BAC ∠B=∠BAC=30°（已知） 三角形的外角等于与它不相邻两个内角和 典例解析 例 如图12-13,B,C,D，E是同；直线上的四点，∠B=∠BAC=30°,∠CAD等于60°，∠ADE等于多少度？ 解：∵在△ABC中，∠B=∠BAC=30°, ∴∠ACD=∠B+∠BAC(三角形的内角和定理的推论） =30°+30°=60°. 又∵在△ACD中，∠CAD=60°, ∴∠ADE=∠ACD+∠CAD(三角形的内角和定理的推论) =60°+60°=120°. 新知探究 思考与交流 如图,线段AB,CD,EF两两交于点G,P,H.怎样求∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F等于多少度? ( ( ( 1 2 3 =∠AGP =∠BHP =∠FPG ∠AGP+∠1=180° ∠BHP+∠2=180° ∠FPG＋∠3=180° 158°×3=540° ( ( ( 1 2 3 新知探究 思考与交流 如图,线段AB,CD,EF两两交于点G,P,H.怎样求∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F等于多少度? 解：∵∠AGP=∠A+∠C ∠FPG=∠D+∠F ∠BHP=∠B+∠E ∵∠AGP+∠1+∠FPG+∠2+∠BHP+∠3=180°×3=540° ∴∠AGP+∠FPG+∠BHP=540°-（∠1+∠2+∠3）=360° ∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F=360° 新知探究 练习： 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. 解法一： 新知探究 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 新知探究 解法三：过A作AM平行于BC， ∠3＝ ∠4 B C 1 2 3 4 A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360° M ∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM， D E F 新知探 ... ...
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