27.2.3 第1课时 切线的判定与性质定理 素养目标 1.通过探究,得出切线的判定定理,能够运用切线的判定定理解决问题. 2.知道切线的性质定理,并能运用切线的性质定理解决问题. 重点 运用圆的切线的判定定理和性质定理进行证明与计算. 【预习导学】 知识点一 切线的判定定理 阅读课本本课时前5段的内容,完成下面问题. 如图,OA是☉O的半径,记为r,过点A作直线l⊥OA. 1.由图可知,对直线l上除点A外的任何一点P,必有OP OA,即点P在圆外,从而直线与圆只有 个公共点,所以直线l是圆的 . 2.设点O到l的距离为d,则d与r的等量关系是 ,由此我们可知直线l是☉O的 . 归纳总结 切线的判定定理:经过圆的半径的 且 于这条半径的直线是圆的切线. 【讨论】你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线 知识点二 切线的性质定理 阅读课本本课时第6段至”练习”之前的内容,完成下面问题. 如图,直线l是☉O的切线,则圆心O到直线l的距离 半径;若A为切点,则半径OA就是圆心O到直线l的 ,即l OA. 归纳总结 切线的性质定理:圆的切线 经过 的半径. 对点自测 1.下列直线中一定是圆的切线的是 ( ) A.与圆有公共点的直线 B.到圆心的距离等于半径的直线 C.垂直于圆的半径的直线 D.过圆的直径端点的直线 2.如图,AT切☉O于点A,AB是☉O的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB= . 【合作探究】 任务驱动一 切线的判定 1.如图,AB是☉O的直径,P为圆上一点,C为AB延长线上一点,PA=PC,∠C=30°.求证:CP是☉O的切线. 方法归纳交流 证明一条直线是圆的切线,当已知条件中直线与圆有公共点时,连结过公共点的半径,然后证明这条半径与直线 . 任务驱动二 切线的性质定理的应用 2.如图,△ABC的边AC与☉O相交于C,D两点,且经过圆心O,边AB与☉O相切,切点为B.如果∠A=34°,那么∠C等于 ( ) A.28° B.33° C.34° D.56° 3.如图,AC与☉O相切于点C,AO交☉O于点B,已知AB=1,AC=,求☉O的半径. 方法归纳交流 利用切线的性质定理解题时,通常连结过切点的半径,构造 三角形. 任务驱动三 切线的性质与判定的综合应用 4.【易错题】如图,OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,☉D与OA相切于点E.求证:OB与☉D相切. 变式演练 在上题中,如果已知OA、OB是☉D的切线,切点分别是E,F,试说明OD是∠AOB的平分线. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.> 一 切线 2.d=r 切线 归纳总结 外端 垂直 讨论 解:1.根据直线与圆的公共点个数判断:与圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线. 2.根据圆心到直线的距离d与这个圆的半径r之间的关系判断:若d=r,则这条直线是圆的切线. 3.根据切线的判定定理判断:经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知识点二 等于 垂线段 ⊥ 归纳总结 垂直于 切点 对点自测 1.B 2.50° 【合作探究】 任务驱动一 1.证明:连结OP.图略,∵PA=PC,∠C=30°, ∴∠A=∠C=30°,∴∠APC=120°. ∵OA=OP,∴∠OPA=∠A=30°,∴∠OPC=120°-30°=90°,即OP⊥CP,∴CP是☉O的切线. 方法归纳交流 垂直 任务驱动二 2.A 3.解:如图,连结OC. ∵AC与☉O相切于点C,∴OC⊥AC. 设☉O的半径为r, 则OC=OB=r, ∵AB=1,∴OA=1+r. 在Rt△OAC中, ∵OA2=OC2+AC2, ∴(1+r)2=r2+()2,解得r=1, ∴☉O的半径是1. 方法归纳交流 直角 任务驱动三 4.证明:连结DE,过点D作DF⊥OB于点F,图略. ∵OA是切线,∴DE⊥OA. ∵OC平分∠AOB, ∴DE=DF,∴☉D与OB相切于点F. 变式演练 证明:连结DE,DF,图略. ∵OA,OB是☉D的切线, ∴DE⊥OA,DF⊥OB. 在Rt△EOD与Rt△FOD中, ∵DE=DF,OD=OD, ∴Rt△EOD≌Rt△FOD, ∴∠EOD=∠FOD, ∴OD是∠AOB的平分线. ... ...
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