(课件网) 第二课时 空间中的距离问题 新课程标准解读 核心素养 能用向量的方法解决点线距、点面距、线面距的计算 问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与 另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离. 空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平 面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离 等.计算距离是空间度量最基本的问题. 【问题】 如何用向量方法求解这些距离呢？ 知识点 空间距离及向量求法 1. 点 P 到平面α的距离 点 P 到平面α的距离，等于点 P 与平面α内任意一点 A 连线所得向量 ，在平面α的单位法向量 n0方向上所作投影向量的长度，即 d ＝ . ｜ · n0｜ 2. 点 P 到直线 l 的距离 若点 P 是直线 l 外一点， l0是直线 l 的单位方向向量，点 A 是直线 l 上 任意一点，则点 P 到直线 l 的距离为 d ＝ . 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）可以用｜ ｜＝ ＝ ，求空间两点 A ， B 的距离. （ √ ） （2）设 n 是平面α的法向量， A 是平面α内一点， AB 是平面α的一条 斜线，则点 B 到α的距离为 d ＝ . （ √ ） （3）若直线 l 与平面α平行，直线 l 上任意一点与平面α内任意一点 的距离就是直线 l 与平面α的距离. （ × ） √ √ × 2. 在四面体 P - ABC 中， PA ， PB ， PC 两两垂直， M 是平面 ABC 内一 点，且点 M 到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点 M 到顶点 P 的距离是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 解析： 以 P 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），由题意，得｜ MP ｜＝ ＝7. 3. 已知平面α的一个法向量 n ＝（1，0，1），点 A （－1，1，0）在α 内，则平面外点 P （－1，1，1）到平面α的距离为 . 解析： ＝（0，0，1）， n ＝（1，0，1）， d ＝ ＝ ＝ . 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 点面、线面、面面的距离问题 【例1】 已知正方形 ABCD 的边长为1， PD ⊥平面 ABCD ，且 PD ＝ 1， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点.求点 D 到平面 PEF 的距离. 解：建立以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则 D （0，0，0）， P （0，0，1）， A （1，0，0）， C （0，1， 0）， E ， F ， ∴ ＝ ， ＝ ， ＝ . 设 n ＝（ x ， y ， z ）是平面 PEF 的法向量， 则 n · ＝ x ＋ y － z ＝0， ① n · ＝ x ＋ y － z ＝0， ② ①－②并整理得 x － y ＝0. 令 x ＝ y ＝1，则 z ＝ .∴ n ＝ . ∴点 D 到平面 PEF 的距离 d ＝ ＝ ＝ ＝ . 【母题探究】 （变设问）本例条件不变，求直线 AC 到平面 PEF 的距离. 解：∵ E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，则 AC ∥ EF ， ∴ AC ∥平面 PEF ，∴点 A 到平面 PEF 的距离等于直线 AC 到平面 PEF 的距离. 由本例知，平面 PEF 的法向量 n ＝ ， A （1，0，0）， ＝（1，0，－1）. d ＝ ＝ ＝ . 因此直线 AC 到平面 PEF 的距离为 . 通性通法 线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平 面的距离的前提是线面、面面平行. 点面距的求解步骤： （1 ... ...
