4.3.3.1等比数列的前n项和&4.3.3.2等比数列前n项和的性质及应用 课件（2课时） 2025-2026学年苏教版2019高中数学选择性必修一

(课件网) 4.3.3 课时1 等比数列的前n项和 第4章 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速的传递有关信息.在这样的背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？ 如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友，(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列，1，3，9，27，81， … 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 我们需要计算出等比数列的前20项的和，即要算出+…+ ①的值. +…+ ① 3+…+ ② 思考：为什么要两边同时乘以 3 ？ 仔细观察①式和②式的右边，你发现了什么？下一步该如何做？ 在①式两边同时乘以3 ×3 ×3 +…+ ① 3+…+ ② 发现：①式和②式中有很多相同的项，如果作减法，则可以相互抵消. ① 可得， 因此 也就是说经过19轮传播之后，知晓这个信息的人约为17亿，比我国的总人口还多！ 问题：求等比数列{an}的前 n 项和 Sn. 设等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q，则{an}的前 n 项和是： Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an ，即 Sn = a1 + a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 ③ 在③两边同时乘以q qSn = a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 + a1qn ④ 由 ③ – ④ 得： Sn – qSn = a1 – a1qn，即 (1 – q)Sn = a1(1 – qn)； 当 q ≠ 1 时，Sn = ； 当 q = 1 时，an = a1，Sn = na1； （错位相减法） 等比数列的前 n 项和公式： 由可得： 例1 在等比数列{an}中， (1)已知a1＝-4，公比q＝，求前10项和S10； (2)已知a1＝1，ak＝243，q＝3，求前k项和Sk. 解：(1)根据等比数列的前n项和公式得S10＝＝. (2)根据等比数列的前n项和公式得Sk＝＝364. 例2 在等比数列{an}中， (1)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (2)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解：(1)法一：由题意知 解得 从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (2)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. (3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又因为Sn＝＝126，所以q为2或. 归纳总结 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 例3 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝，S6＝，求an. 解：设等比数列{an}的公比为q， 若q＝1，则S6＝2S3，这与S3＝，S6＝是矛盾的， ∴q≠1，从而S3＝＝，S6＝＝， 将上面两个等式相除得1＋q3＝9， 解得q＝2， 由此可得a1＝，因此an＝×2n-1＝2n-2. 归纳总结 在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 例4 求数列1＋，2＋，3＋，…，n＋，…的前n项和Sn. 解：Sn＝(1＋)＋(2＋)＋(3＋)＋…＋(n＋) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋＋…＋) ＝ ＝. 1. 等比数列的前n项和公式是用什么方法推导的呢？回忆一下推导过程. 回顾：结合本节课所学，回答下列问题？ 2. 等比数列的前n项和公式涉及到哪些量，它们之间又有什么关系呢？ 1.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于( ... ...