4.1.2 数列的递推公式 课件（17页） 2025-2026学年苏教版2019高中数学选择性必修第一册

4.1.2 数列的递推公式 第4章 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项. 2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 除了通项公式、列表法以及图象法外，数列还有其他的表示方法吗？ 问题1：如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？ 观察 1，3，?6，10，15，… 中数字出现的规律，写出第8个数. 分析：如果将给定的数列记作数列{????????}，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项????8，根据上节所学，可先求出数列的通项公式，从而可求任意项，但仔细观察，还有更快的方法. ? 观察1，3，?6，10，15，…中数字出现的规律，写出第8个数. 解：因为 a2?a1=3?1 =2， a3?a2=6?3 =3， a4?a3=10?6=4， a5?a4=15?10=5， 所以，可以猜想，数列{an}应该满足 an+1?an=n+1， an+1=an+n+1， ? 易知 a6=a5+6=15+6=21， a7=a6+7=21+7=28， a8=a7+8=28+8=36， ? 显然，上述数列{an}可以由 a1=1，an+1?an=n+1 完全确定. ? 1.数列的递推关系 一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式. 递推公式也是给定数列的一种方法. 例1 试分析根据下列条件，写出数列{an}的前5项： (1)a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1＋2an，其中n∈N*； (2)a1＝2，an+1＝2－1????????，其中n∈N*. ? 解：(1)∵a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1＋2an，其中n∈N*， ∴a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4， a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8， a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16， 因此数列{an}的前5项依次为1，2，4，8，16. (2)a1＝2，an+1＝2－1????????，其中n∈N*. ? (2)∵a1＝2，an+1＝2－1????????，其中n∈N*， ∴a2＝2－1????1＝2－12＝32， a3＝2－1????2＝2－23＝43， a4＝2－1????3＝2－34＝54， a5＝2－1????4＝2－45＝65， 因此数列{an}的前5项依次为2，32，43，54，65. ? 归纳总结 递推公式反映的是相邻两项(或多项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性. 思考1：递推公式有什么作用呢？ 1.知道首项和递推公式的条件下，可以求出数列的每一项； 2.知道项与项之间的关系. 思考2：递推公式和通项公式有什么区别和联系？ {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 通项公式 递推公式 联系 区别 定义 求解 都能确定一个数列 项与序号的关系 项与项的关系 不需要额外条件 需要初始条件 解析：(归纳法)数列的前5项分别为 又a1＝1， B B B a1＝1， … 归纳总结 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的，且不为0)，使用累乘法或迭代法. 由递推公式求通项公式的常用方法 结合本节课所学，回答下列问题： (1)递推公式有什么作用呢？ (2)由递推公式求通项公式有什么方法？ 1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　) A.5 　　　　B.6 　　　　C.7 　　　　D.8 2.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　) A.15 　　　　B.255 　　　　C.16 　　　　D.63 D B D ... ...