(课件网) 第5章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义 1.借助比值理解任意角三角函数的定义． 2.利用三角函数的定义求角的三角函数值； 3. 利用单位圆，理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关问题. 回顾：初中我们是如何定义锐角三角函数的？ 思考：结合任意角的推广，想一想，任意角的三角函数应该如何计算？ sin α = _____； cos α = _____； tan α = _____； A B C α a b c 问题1：当是一个锐角时，初中学的正弦、余弦与正切能否通过终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？ P(x，y) x y O M α x y r 当 是锐角时，它的终边在第一象限内. 在 终边上任取一个不同于坐标原点的点 P (x，y)， 作 PM 垂直于 Ox 于点 M，记 ； 则△OMP 是一个直角三角形，且OM = x，PM = y，OP = r，由此可知： 问题2：当 P 沿射线 OP 移动时，角 α 不变，其三角函数值是否改变 P1 (x1，y1) m 结论：三角函数值与点 P 在终边上的位置无关，只与角大小有关. 因此，可以用角终边上点的坐标来定义三角函数. P(x，y) x y O M α r 在 终边上任取一点P (x，y)，记 r = |OP| ，则称 为角 α 的正弦，记作 sin α；称 为角 α 的余弦，记作 cos α； 因此 sin α = ，cos α = . 当角 α 的终边不在 y 轴上时，同样可知 与点 P 在 α 终边上的位置无关，此时称 为角 α 的正切，记作tan α，即 tan α = . x y O P(x,y) α的终边 以角 α 为自变量的函数， 统称为 α 的三角函数. 三角函数的定义域 三角函数 定义域 sin α cos α tan α 注意：y 轴上点的横坐标为 0，故角 α 的终边不能落在 y 轴上. 例1 求下列各角的正弦、余弦、正切. （1）0 （2）π （3） 解：(1)角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点(1，0)， 所以 ， (2)角π的终边在x轴的负半轴上，在x轴的负半轴上取点（-1，0）， 因此 . 所以 ， 因此 . (3)角 的终边在y轴的负半轴上，在y轴的负半轴上取点（0，-1）， 因此 不存在. 所以 ， 求任意角 α 的三角函数的步骤： （1）取 α 终边上一点 P (x，y) ； （2）求； （3）求，，. 问题3：若角 α 的终边与单位圆的交点为 P，则 α 的正弦与余弦的表达式有什么变化？ 因为 r = = 1，所以 sin α = y，cos α = x； 所以 点 P (x，y) 的坐标可写成 (cos α，sin α)， 即角 α 的余弦和正弦分别等于角 α 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标. 问题4：如何给出任意角正弦和余弦的一个直观表示？ 如图，过 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M， 可以直观地表示，称为角 的余弦线； 可以直观地表示， 称为角 的正弦线. O P (x，y) x M y 若 α 的终边不在 y 轴上，且 P (x，y) 是 α 终边上异于原点的任意一点，则 tan α = ；取坐标满足 x = 1 的点 P，则 tan α = y. 如图，设 α 的终边与直线 x = 1 交于点 T，则称 为角 α 的正切线. x y O T A 1 α 的终边 x = 1 思考：若角 α 是第二象限的角时，能否找到一个垂直于 x 轴的向量，使其数量为？ y O α 的终边 A1 T1 (-1，y1) A x 取 T1 的坐标为 (-1，y1)，则 tan α = 追问：能否找到一个以 A 点为起点在过 A 的切线上的向量，使这一向量的数量为 tan α？ T′ 角 α 终边的反向延长线与切线 x = 1 交点为T′， 则 tan α = AT′ . 一般结论：角 α 的正切等于角 α 的终边或其反向延长线与直线 x = 1的交点的纵坐标；正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 回顾：本课关键词“三角函数、三角函数线” ， 说说今天学了哪些知识？ ... ...
