洋泾中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．设全集，集合，则_____． 2．已知复数，其中为虚数单位，则_____． 3．函数的定义域为_____． 4．现有如下9个数据：20，24，6，15，18，10，42，57，2，则这批数据的第25百分位数为_____． 5．在的二项展开式中，含项的系数为_____．（结果用数值表示） 6．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为_____． 7．若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为_____． 8．在各项为正数的等比数列中，，，则_____． 9．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为_____． 10．已知点是双曲线左支上一点，，是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是_____． 11．在中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是_____． 12．对于函数，若关于的方程，恰有个实数根，则称函数为“”函数．①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有_____个． 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13．设，是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）． A． B． C． D． 14．已知函数，下列说法中正确的是（ ）． A．函数的图像关于点中心对称； B．函数的图像关于直线对称； C．函数的图像可由的图像向右平移个单位得到； D．方程在上有两个不相等的实数根． 15．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 16．已知函数的定义域为，集合．若函数使得，则（ ）． A．可能为奇函数 B．可能在处取最小值 C．可能是增函数 D．可能在处取极小值 三、解答题（14+14+14+18+18） 17（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知． （1）若函数的图象过点，解不等式； （2）存在实数使得、、成等差数列，求的取值范围． 19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） “堆云积雪，芳华绝代”，春天的上海，是玉兰花的盛宴．除市花白玉兰外，还有黄玉兰和紫玉兰等品种．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为30米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且． （1）当米时，求的长； （2）当点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值． 20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明：； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“-距离”． （1）若，请直接写出相应的集合； （2）设，且存在实数，使得直线的“-距离”不小于1，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增，若对任意，都有且直线与的“距离”相等，证明：是偶函数． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. ... ...
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