3.1.1 函数的概念 导学案（含答案） 高一年级数学人教A版必修第一册

3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) 【学习目标】　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,能求简单函数的函数值,提升数学运算的核心素养. 知识归纳 知识点一　函数的概念 概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} (1)A,B是非空的实数集,定义域是A,值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性. (3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象、表格或其他的对应关系. (4)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数. 知识点二　一次函数、二次函数和反比例函数的定义域和值域 1.一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R,值域是R. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R,值域是B.当a>0时,B={y|y≥};当a<0时, B={y|y≤}. 3.反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}. 基础自测 1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　) [A]x+|y|=1 [B]x2+y2=1 [C]2x2+y=1 [D]2x+y2=1 【答案】 C 【解析】 对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误; 对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误; 对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数定义,故C正确; 对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.故选C. 2.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是(　　) [A]0 [B]3a2-1 [C]6a2-2 [D]6a2 【答案】 A 【解析】 f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.故选A. 3.(人教A版必修第一册P64练习T3改编)如图,f:A→B表示从集合A到集合B的函数,若f(a)=2,则a的值为(　　) [A]1 [B]2 [C]1或2 [D]3 【答案】 C 【解析】 由题图可知,若f(a)=2,则a=1或2.故选C. 4.下列函数的值域为R的是 (　　) [A]y=x+1 [B]y=x2 [C]y=-x2+1 [D]y= 【答案】 A 【解析】 选项A中,y=x+1的定义域为R,值域为R,故A正确;显然其余选项的值域均不为R.故选A. 题型一　函数的概念 [例1] (多选)已知下列集合M,N与对应关系f,则f:M→N为从M到N的函数的是(　　) [A]M={1,2,3},N={2,4,6},f:M中的数乘以2 [B]M={1,2,3},N={2,4,6,8},f:M中的数乘以2 [C]M={1,4},N={-2,-1,1,2},f:M中的数开平方 [D]M={-2,-1,1,2},N={1,4},f:M中的数平方 【答案】 ABD 【解析】 对于A,B,因为1×2=2∈N,2×2=4∈N,3×2=6∈N,符合题意,故A,B正确;对于C,因为集合M中的1开平方后有±1两个值与其对应,不符合函数的定义,故C错误;对于D,因为(-2)2=22=4∈N,(-1)2=12=1∈N,符合题意,故D正确.故选ABD. (1)判断一个对应关系是不是函数的方法. (2)判断图形是不是函数关系的步骤. ①任取一条垂直于x轴的直线l. ②在定义域内平行移动直线l. ③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. [变式训练] 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　) [A]①②③④ [B]②③ [C]①②③ [D]② 【答案】 B 【解析】 对于①,从题图中可看出,M中有些元素在N中没有对应元素,例如x=1.5,不符合集合M到集合N的函数关系;②③符合集合M到集合N的函数关系;对于④,任取x=1,在图中可看到有两个y值与之对应,不符合函数定义.故选B. 题型二　函数的定义域和值域的理解 [例2] 已知集合A={1,2},B={3,4}, ... ...