第2课时 指数函数的图象和性质(二) 学习目标 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用. 题型一 利用指数函数的单调性比较大小 [例1] (苏教版必修第一册P144例1)比较下列各组数中两个数的大小: (1)1.52.5,1.53.2; (2)0.5-1.2,0.5-1.5; (3)1.50.3,0.81.2. 比较幂的大小的方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断. [变式训练] 下列式子正确的是( ) [A]1.52.9>1.53.4 [B]0.20.4<0.50.4 [C]1.70.2<0.92.5 [D]0.80.5>0.90.4 题型二 简单的指数不等式的解法 [例2] 解关于x的不等式: (1)>22x+3; (2)≤. [典例迁移1] 解关于x的不等式:≤a6(a>0,且a≠1). [典例迁移2] 解不等式:4x-2x-2>0. (1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)> f(x)>g(x)(a>1)或f(x)
0(a>0,且a≠1,k,m≠0),可化为关于“ax”的一元二次不等式,使用换元法. 题型三 指数函数图象和性质的综合运用 [例3] 已知函数f(x)=为奇函数. (1)写出f(x)的定义域,并求a的值; (2)判断函数f(x)的单调性,并利用定义加以证明; (3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围. (1)解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质应用不充分,会导致解题步骤繁琐或无法求解,如本题中奇偶性、单调性的应用,可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题. (2)一元二次不等式的恒成立问题,可以结合相应的二次函数的图象,转化为等价的条件求解,恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解. [变式训练] 设a>0,函数f(x)=+是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值; (2)求f(x)在[0,1]上的值域.第2课时 指数函数的图象和性质(二) 学习目标 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用. 题型一 利用指数函数的单调性比较大小 [例1] (苏教版必修第一册P144例1)比较下列各组数中两个数的大小: (1)1.52.5,1.53.2; (2)0.5-1.2,0.5-1.5; (3)1.50.3,0.81.2. 【解】 (1)考察指数函数y=1.5x. 因为1.5>1, 所以y=1.5x在R上是增函数. 又因为2.5<3.2, 所以1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数y=0.5x. 因为0<0.5<1, 所以y=0.5x在R上是减函数. 又因为-1.2>-1.5, 所以0.5-1.2<0.5-1.5. (3)考察指数函数y=1.5x. 因为1.5>1, 所以y=1.5x在R上是增函数. 又因为0.3>0, 所以1.50.3>1.50=1. 同理0.81.2<0.80=1, 故1.50.3>0.81.2. 比较幂的大小的方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断. [变式训练] 下列式子正确的是( ) [A]1.52.9>1.53.4 [B]0.20.4<0.50.4 [C]1.70.2<0.92.5 [D]0.80.5>0.90.4 【答案】 B 【解析】 对于A,y=1.5x为增函数,因为2.9<3.4,所以1.52.9<1.53.4,A错误;对于B,y=x0.4在(0,+∞)上单调递增,因为0.2<0.5,所以0.20.4<0.50.4,B正确;对于C,因为y=1.7x为增函数,所以1.70.2>1.70=1,因为y=0.9x为减函数,所以0.92.5<0.90=1,所以1.70.2>0.92.5,C错误;对于D,因为y=0.8x为减函数,所以0.80.5<0.80.4,因为y=x0.4为增函数,所以0.80.4<0.90.4,所以0.80.5<0.90.4,D错误.故选B. 题型二 简单的指数不等式的解法 [例2] 解关于x的不等式: (1)>22x+3; ... ... 