5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学案 （含答案） 高一年级数学人教A版必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 学习目标　1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.2.掌握两角差的余弦公式的应用. 知识归纳 知识点　两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,其中α,β∈R,简记作C(α-β). (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构:左端为两角差的余弦,右端为这两角的同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立,即cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β). 基础自测 1.cos 52°cos 22°+sin 52°sin 22°等于(　　) [A] [B] [C]sin 74° [D]cos 74° 【答案】 B 【解析】 cos 52°cos 22°+sin 52°sin 22°=cos(52°-22°)=cos 30°=.故选B. 2.(人教A版必修第一册P217练习T4改编)已知cos α=-,α∈(,π),sin β=-,β是第四象限角,则cos(β-α)的值是(　　) [A]- [B] [C]- [D]- 【答案】 C 【解析】 由已知得sin α=,cos β=,则cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=×(-)+(-)×=-.故选C. 3.若sin αsin β=1,则cos(α-β)的值为(　　) [A]0 [B]1 [C]±1 [D]-1 【答案】 B 【解析】 因为sin αsin β=1,sin α∈[-1,1],sin β∈[-1,1],只能sin α,sin β同时取1,或同时取-1,所以cos α=cos β=0,得cos αcos β=0,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=0+1=1.故选B. 4.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则sin β=　　　　　. 【答案】 - 【解析】 因为cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos[(α-β)-α]=m,即cos β=m. 又β为第三象限角,所以sin β=-=-. 题型一　给角求值 [例1] 求下列各式的值: (1)cos(-); (2)cos cos +cos sin ; (3)cos 105°+sin 105°. 【解】 (1)cos(-)=cos(-)=cos cos +sin sin=×+×=. (2)原式=cos cos +cos(-)·sin =cos cos +sin sin =cos(-)=cos =. (3)原式=cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105°=cos(60°-105°)=cos(-45°)=. (1)求非特殊角的三角函数值时,通常把非特殊角转化为两个特殊角的和或差,然后利用公式求解. (2)不符合两角差结构的三角式可以通过诱导公式变为符合公式结构的形式达到化简求值的目的. (3)有些含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用公式求解,含有特殊角的三角式也可以考虑直接展开化简. [变式训练] 求下列各式的值: (1)cos(+θ)cos θ+sin(+θ)sin θ; (2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°. 【解】 (1)原式=cos[(+θ)-θ]=cos =. (2)原式=cos 75°cos 15°-sin 75°sin(180°+15°)=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)= cos 60°=. 题型二　给值求值 [例2] 已知sin α=,tan β=-,且α∈(,π),β∈(0,π),求cos(α-β)的值. 【解】 因为sin α=,α∈(,π),所以cos α=-=-=-.因为tan β=-,β∈(0,π),所以β∈(,π),且sin β=-cos β,由sin2β+cos2β=1知sin β=,cos β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×=. [典例迁移1] 已知sin(α+)=,且<α<,求cos α. 【解】 因为sin(α+)=,且<α<,所以<α+<π,所以cos(α+)=-=-,所以cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)cos +sin(α+)sin =(-)×+×=. [典例迁移2] 已知cos(α+β)=,sin(α-β)=,且<α+β<2π,<α-β<π,求cos 2β的值. 【解】 因为cos(α+β)=,且<α+β<2π,所以sin(α+β)=-.因为sin(α-β)=,且<α-β<π,所以cos(α-β)=-.所以cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)= ×(-)+(-)×=-1. (1)直接使用公式求值时,应该充分利用已知角的三角函数值,求所需要的三角函数值,注意利用角的范围确定三角函数值的符号. (2)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角. (3)由 ... ...