5.7 三角函数的应用 学习目标 1.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.2.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题. 知识归纳 知识点 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义 在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0. 其中A就是这个简谐运动的 ,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; 这个简谐运动的周期是T=,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; 这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为 . 如果A<0或ω<0,应先利用诱导公式把函数进行标准化,把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin(2x-),应先变成y=sin[π+(2x-)]=sin(2x+). 基础自测 1.若某振动物体的函数解析式是y=3sin(x-),则该振动物体的初相是( ) [A]x- [B] [C] [D]- 2.已知电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的频率是( ) [A] Hz [B]100 Hz [C] Hz [D]50 Hz 3.(人教A版必修第一册P248练习T1改编)下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,由乙点开始经过周期后,与图中哪个点相同( ) [A]甲 [B]戊 [C]丙 [D]丁 4.若某路口每分钟的车流量满足函数F(t)=10sin(t-)+20,t∈[0,+∞),则车流量最大时,每分钟经过该路口的车辆数为 . 题型一 三角函数在物理中的应用 [例1] 如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,即电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<).在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为 s. 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. [变式训练] 如图,一根长l(单位:cm)的线,一端固定,另一端悬挂一个小钢球,当小钢球做单摆运动时,离开平衡位置的位移S(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系可近似的表示为S=3cos(t+),t∈[0,+∞),其中g≈1 000 cm/s2,π≈3.14. (1)当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S是多少厘米 (2)要使小钢球摆动的周期是1 s,则线的长度l应该为多少厘米 (精确到0.1 cm) 题型二 三角函数在生活中的应用 [例2] 某地区的一种特产水果最早一批在每年十一月份上市,上市初期产量较低,因此价格居高且逐渐上涨,中期产量增大时价格逐渐下跌,后期又由于供应量不足价格上涨,其销售价格f(x)(单位:元/kg)随着月份x的变化满足函数f(x)=Asin(x-)+B(x∈[1,10],x∈N*,其中1表示十一月份,2表示十二月份,…),经调查统计,一月份该水果的平均销售价格为 10元/kg,五月份该水果的平均销售价格为6元/kg. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若该水果价格小于7元/kg时,果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道,则每年哪几个月份需要采取外销策略 解三角函数应用问题的基本步骤 [变式训练] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:时)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin(t+),t∈[0,24]. (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温 题型三 三角函数“拟合”模型的应用 [例3] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=cos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟 ... ...
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