第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习提升 题型一 不等式及其性质 1.不等式及其性质贯穿整个高中数学,只要是涉及范围的问题,几乎都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位. 2.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养. 3.此类题目多为判断不等式能否成立,优先考虑特殊值法和直接使用性质,在这两种方法都不能解答问题的情况下,考虑使用作差法. 4.在利用不等式性质求最值问题时,多次使用不等式要注意等号是否同时成立. [典例1] (多选)若x<-y0 [跟踪训练] 已知(a+1)2≥(a+1)3,且00 [B]a+b<0 [C]> [D] a20,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查恒等变形的技巧,因此基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.利用基本不等式求最值,要遵循“一正、二定、三相等”的原则,其关键是凑定值,凑定值时要利用已知条件或隐含条件对代数式进行变形和化简,多次或连续使用基本不等式时,要保证等号同时成立,不能使用基本不等式求最值时,可利用函数等求最值. [典例2] (多选)下列命题正确的是( ) [A]若a,b∈R,且ab>0,a+b≥2 [B]已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为 [C]函数y=的最小值为2 [D]若x=(x-2)y,x>0,y>0,则x+2y的最小值是8 [跟踪训练] 已知a,b满足a2+ab-2b2=1,则3a2-2ab的最小值为 . 题型三 一元二次不等式的解法及其应用 1.一元二次不等式常与集合、逻辑用语结合. 2.三个二次之间的关系是解决一元二次不等式的关键,注意数形结合思想方法的应用. 3.解含参数的一元二次不等式问题要注意分类讨论. [典例3] 已知函数y=(m+1)x2-(m-1)x+m-1. (1)当m=0,y<0时,求x的取值范围; (2)若不等式y<0的解集为R,求实数m的取值范围; (3)当m<0时,解关于x的不等式y≥3x+m-2. [跟踪训练] 已知全集U=R,不等式ax2+bx+c<0的解集是A={x},B={x},C={x|(x-2m)(x-m2-1)<0,m≠1}. (1)计算( UA)∩B; (2)若不等式cx2-bx+a<0的解集为D,且“x∈D”是“x∈C”的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 题型四 一元二次不等式与基本不等式的实际应用 1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模和数学运算的核心素养. [典例4] 如图是一张矩形的宣传单,其排版面积(矩形ABCD)为P,左右两边都留有宽为 a cm 的空白,顶部和底部都留有宽为2a cm 的空白. (1)若AB=20 cm,BC=30 cm,且该宣传单的面积不超过1 000 cm2,则a的最大值是多少 (2)若a=2,P=800 cm2,则当AB长多少时,宣传单的面积最小 最小面积是多少 [跟踪训练] 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为40元,年销售6万件. (1)据市场调查,价格每提高1元,销售量将相应减少1 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元 (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定对该商品进行全面技术革新和销售策略调整,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-100)万元作为技改费用,投入160万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价.第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习提升 题型一 不等式及其性质 1.不等式及其性质贯穿整个高中数学,只要是涉及范围的问题,几乎都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位. 2.掌握不 ... ...
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