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课件网) 4.4 课时1 二项式定理 1.能用多项式法则和计数原理推导二项式定理. 2.会用二项式定理求解二项展开式，并能进行简单的应用. 今天是星期四， 7天后的这一天是星期几呢？ 15天后的这一天呢？ 30天后的这一天呢？ 星期四 星期五 星期六 用天数除以7，看余数是多少， 再用4加余数来推算. 若今天是星期四， 天后的这一天是星期几呢？ ↓ 除以7的余数是多少？ ↓ ↓ 展开后的表达式是什么样的？ 已知， 思考：观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ 根据多项式乘法法则， 展开式有三项：a2，ab，b2 2个(a+b)中选 2个a，0个b a2出现的次数 = 从2个(a+b)中取0个b(都取a)的组数 ,即a2只有1个 a2 a2 1个(a+b)中选a，另一个(a+b)中选b 2个(a+b)都选b ab出现的次数=从2个(a+b)中取1个b的组数 ,即ab有2个； b2出现的次数=从2个(a+b)中取2个b的组数 ,即b2只有1个； ab b2 因此 ab ab b2 思考：仿照上述过程，利用计数原理，写出(a+b)3，(a+b)4的展开式. a3 a2b a2b a2b 个数： 个数： ab2 ab2 ab2 b3 因此： a4 a3b ab3 b4 a2b2 问题：根据以上分析，猜想(a+b)n的展开式是怎样的？ 各项是从n个因式中各取一个字母相乘得到关于a,b的n次单项式，有 ，共n+1项. 项的结构： …… 项的系数： 项是从n个因式中都取b，有 种． 项是从n个因式中取k个b，有 种； 项是从n个因式中取2个b，有 种； 项是从n个因式中取1个b，有 种； 项是从n个因式中都不取b，有 种； …… 二项式定理： (a+b)n的二项展开式 (1)展开式共有n+1项，比二项式的指数大1． (2)各项的次数都等于二项式的次数n； 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列,次数由0递增到n． 注意： 系数 称为k+1项的二项式系数， 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得 (3) 是展开式中第k+1项（通常用Tk+1表示） 叫做二项展开式的通项公式. 例1 写出 的展开式． 解：在二项式定理中，令a=2，b= –x，n=5，可得 不相等 归纳总结 二项式系数只与各项的项数有关，而且与a，b的值无关； 项的系数指的是该项除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且与a，b的值有关. 二项式系数与项的系数的区别 例2 求 的展开式中含x3的项. 解：因为 所以展开式中的第k+1项为 要使此项含x3，必须有9 – 2k = 3，从而有k = 3， 因此含x3的项为： 归纳总结 求二项展开式中指定项的解题步骤 1.确定定理中的a , b , n 在题目中指的都是什么； 2.写通项公式 ，通过指数运算进行整理； 3.若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指数等于 t （常数项的指数为0），计算出 k ； 4.将 k 代入通项公式 ，即为所求． 例3 已知(x2-1)n的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求： (1)n的值； (2)展开式中含有x6的项和该项的二次项系数. 解：(1)依题意可知2n=1024，因此n=10. (2)展开式的通项为 要使此项含有x6，必须有20–2k = 6，从而k=7， 因此含有x6的项为 该项的二项式系数是120. 2.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 A 1.在 的展开式中， 的系数是( ) A.-840 B. 840 C.210 D.-210 B 根据下列问题，回顾本节课所学知识： 1.二项式定理是怎样的？ 2.二项式系数和展开式通项分别是什么？ ... ...
