2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 学习 目标 1. 掌握基本不等式及推导过程，能熟练运用基本不等式比较两实数的大小． 2. 能初步运用基本不等式证明不等式和求最值． 新知初探基础落实 问题1：如图，AB是圆O的直径，Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？ 易求得PO＝，PQ＝，且PQ≤PO. 一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即≤. 一、 生成概念 问题2：上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明． 方法一(作差法)：－＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时等号成立． 方法二(分析法)： 要证≤①， 只要证2≤a＋b②， 要证②，只要证2－a－b≤0③， 要证③，只要证－(－)2≤0④， 要证④，只要证(－)2≥0⑤， 显然，⑤成立，当且仅当a＝b时，⑤中的等号成立． 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了． 我们把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法，将从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法．注意：在书写表达时每一步都要加以文字说明“要证……，只要证……”，直到“显然×××成立”．分析法这种由未知探需知、逐步推向已知的方法在今后的数学研究中还会经常用到. 请同学阅读课本P44—P45，完成下列填空． 二、 概念表述 1. 基本不等式 __≤__(a>0，b>0). 2. 基本不等式常见推论 (1)＋≥__2__(a，b同号). (2) a2＋b2＋c2≥__ab＋bc＋ca__(a，b，c∈R). (3) 对n(n≥2)个正数a1，a2，…，an，有≥____． (4) ____≤≤≤____(a>0，b>0)，其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数． 三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．) (1) 对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.( √ ) (2) 当n∈N*时，n＋>2.( √ ) (3) 当x≠0时，x＋≥2.( × ) (4) 若a>0，则a3＋的最小值为2.( × ) 典例精讲能力初成 探究1 对基本不等式的理解 例1 (多选)已知a>0，b>0，则下列各式中一定成立的是( ABD ) A. a＋b≥2 B. ＋≥2 C. ≥ D. ≥2 【解析】由≥，得a＋b≥2，故A正确；因为＋≥2＝2，故B正确；因为a＋b≥2，所以≤，所以 ≤＝，故C错误；因为a2＋b2≥2ab，>0，所以≥＝2，故D正确． 基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和． 变式 (多选)下列判断正确的有( BCD ) A. x＋≥4(x≠0) B. x＋≥6(x>0) C. 4x2＋≥12(x≠0) D. >2(x∈R) 【解析】对于A，当x<0时，x＋<0，故A错误；对于B，当x>0时，x＋2>2，则x＋2＋－2≥2－2＝8－2＝6，当且仅当即x＝2时等号成立，故B正确；对于C，因为x≠0，所以x2>0，由基本不等式可得4x2＋≥2＝12，当且仅当4x2＝，即x＝±时等号成立，故C正确；对于D，因为x∈R，所以x2＋2≥2，所以≥，所以＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即＝1时等号成立，但≥，故等号不成立，所以>2(x∈R)，故D正确． 探究2 利用基本不等式直接求最值 例2-1 (课本P45例1)已知x>0，求x＋的最小值． 【解答】因为x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，因此所求的最小值为2. 例2-2 (1) 设00，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 【解答】因为4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，所以a＝36. 利用基本不等式求最值时需注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件 ... ...
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