第八章 第6节　双曲线 专题练习（学生版+解析版） 2026届高三数学一轮复习

第6节　双曲线 基础练 1.关于双曲线C1:x2-y2=2与C2:y2-x2=2,下列说法中错误的是(　　) A.它们的焦距相等 B.它们的顶点相同 C.它们的离心率相等 D.它们的渐近线相同 【答案】 B 【解析】 双曲线x2-y2=2的顶点坐标为(±,0),而双曲线y2-x2=2的顶点坐标为(0,±), B错误.分析可知其他选项正确.故选B. 2.若双曲线 -=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为(　　) A. B.5 C. D.2 【答案】 A 【解析】 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为±=0, 即bx±ay=0, 所以2a==b. 又a2+b2=c2, 所以5a2=c2, 所以e2==5, 所以e=.故选A. 3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上, 若|PF1|-|PF2|=4b,且双曲线的焦距为2,则该双曲线的方程为(　　) A.-y2=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-=1 【答案】 A 【解析】 由题意可得 解得则该双曲线的方程为-y2=1. 故选A. 4.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若|PQ|=12,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为(　　) A.25 B.16 C.32 D.40 【答案】 C 【解析】 由题意可知,a2=4,b2=9, 所以c2=4+9=13,解得c=, 所以双曲线C:-=1的左焦点F(-,0),右焦点A(,0), 由双曲线的定义,知|PF|-|PA|=2a=4,① |QF|-|QA|=2a=4,② 由①②,得|PF|+|QF|=|PQ|+8, 又|PQ|=|PA|+|QA|=12, 所以△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.故选C. 5.(2025·陕西商洛模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若C上存在点P,使得|PF1|=3|PF2|,则C的离心率的取值范围为(　　) A.[,+∞) B.(1,] C.[2,+∞) D.(1,2] 【答案】 D 【解析】 因为|PF1|=3|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以2|PF2|=2a,|PF2|=a,又|PF2|≥c-a,所以a≥c-a,所以离心率e=≤2,又双曲线的离心率大于1,所以1n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m=n>0,则C是圆,其半径为 C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x D.若m=0,则C是两条直线 【答案】 A 【解析】 若m>n>0,则mx2+ny2=1化为+=1,由m>n>0,得<,因此曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,A正确;若m=n>0,则mx2+ny2=1化为x2+y2=,此时曲线C表示圆心在原点,半径为的圆,B错误;若mn<0,则mx2+ny2=1化为+=1,此时曲线C表示双曲线, 由mx2+ny2=0得渐近线方程为y=±x,C错误;m=0,方程ny2=1,若n<0,方程不表示任何曲线,D错误.故选A. 7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,则该双曲线C的渐近线方程为　　　　. 【答案】 y=±x 【解析】 因为双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以e====2,所以 =3,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 8.(2025·山东青岛模拟)双曲线-=1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2,焦距为8,M是双曲线上的一点,且|MF1|=5,则|MF2|=　 . 【答案】 9 【解析】 由题意得,焦距2c=8,即c=4,在双曲线中有a2=c2-b2=16-12=4,因为a>0,解得a=2,由双曲线的定义,得||MF1|-|MF2||=2a=4,由|MF1|=5,解得|MF2|=1或|MF2|=9, 因为|MF1|+|MF2|≥2c=8,可知|MF2|=1舍去,所以|MF2|=9. 9.(2022·全国甲卷)若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=　　　. 【答案】 【解析】 双曲线的渐近线方程为x±my=0,圆x2+y2-4y+3=0的方程可化为x2+(y-2)2=1, 则圆心坐标为(0,2),半径r=1.因为双曲线的渐近线与圆相切,所以圆心到渐近线的距离d==1,得m=. 10.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离; (2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程. 【解】 (1)不妨设M在双曲线的右支上,点M到x轴的距离为h, 因·=0,所以MF1⊥MF2. 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线的定义知m-n=2a=8.① 在Rt△F1MF2中, 由勾股定理得m2+n2=(2c)2=80,② 由① ... ...