2025-2026学年人教版九年级数学 二次函数实际问题--面积、动点、拱桥问题 同步练习（含答案）

2025-2026学年人教版九年级数学 二次函数专题 --面积、动点、拱桥问题 一、面积问题 1．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为． (1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围； (2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？ (3)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 2．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 3．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点，点C在第一象限，与y轴交于点G，P为线段上一点，过点P作直线l交于点Q，，沿直线折叠该纸片，折叠后点A，D的对应点分别为，． (1)填空：如图①，当点P与点O重合时，点Q与点D重合，则点C的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)设折叠后与矩形重叠部分的面积为S．设． ①如图②，当折叠后四边形与矩形重叠部分为五边形时，与交于点F，与交于点E，试用含t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 二、动点问题 4．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，点作于，连接交边于，以、为边作平行四边形，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为． (1)当_____时，为直角三角形； (2)若点在的平分线上，求的值． (3)设四边形面积为，求与的函数关系式并写出的最值． 6．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 7．如图1，在边长为正方形中，动点同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），的面积为（单位：），则关于的函数图象如图2． (1)求关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值，最大值是多少． (3)当为何值时，为． 三、拱桥问题 8．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 9．黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 10．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使 ... ...