【精品解析】全等三角形的常见模型（一）—浙教版数学八年级上册解题模型

全等三角形的常见模型（一）—浙教版数学八年级上册解题模型 一、一线三等角模型 1．（2024八上·拱墅月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　） A．1.5 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=， ∴在Rt△EBC中，∠EBC+∠BCE=， ∵∠BCE+∠ACD=∠ACB=， ∴∠EBC=∠DCA， 在△CEB和△ADC中，， ∴△CEB △ADC(AAS)， ∴BE=DC=1，CE=AD=3， ∴DE=EC-CD=3-1=2， 故答案为：B． 【分析】根据垂直的定义得∠E=∠ADC=，再利用直角三角形的两内角互余可推出∠EBC=∠DCA，进一步可利用AAS推出 CEB ADC，可得BE=DC，进而求出DE的值． 2．（2024八上·西湖期中）如图，在中，于于D，　 　． 【答案】2 【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴ ∴ 故答案为：2． 【分析】利用余角的性质可证得∠CAD=∠BCE，根据可以证明，利用全等三角形的性质可证，然后根据BE=CD=CE-DE，代入计算求出BE的长. 3．（2024八上·南山开学考）如图，直线，，分别过正方形的三个顶点，，，且相互平行，若，的距离为，，的距离为，则正方形的面积为　 　． 【答案】5 【知识点】平行线之间的距离；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型 【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l3于点N ∵∠DAM+∠ADM=∠CDN+∠ADM=90° ∴∠DAM=∠CDN 且∠CND= ∠DMA=90° AD=CD ∴△ADM≌△CDN ∴DM=1，AM=DN=2 ∴ 故答案为：5. 【分析】 如图，过点D作DM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l3于点N， 根据“一线三等角”易证△ADM≌△CDN，可得DM=1，AM=DN=2，根据勾股定理和正方形面积可得结果. 4．如图1，AB=7 cm，AC=5 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为t s，当点P运动结束时，点Q运动随之结束. （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等 并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由. （2）如图2，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x，t的值. 【答案】（1）解：△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ. 理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A=∠B=90°. ∵t=1，∴AP=BQ=2 cm. ∴BP=AB-AP=7-2=5(cm)， ∵AC=5cm， ∴BP=AC. 在△ACP和△BPQ中， ∴△ACP≌△BPQ(SAS)， ∴∠C=∠BPQ. ∵∠C+∠APC=180°-∠A=90°， ∴∠APC+∠BPQ=90°， ∴∠CPQ=180°-(∠APC+∠BPQ)=180°-90°=90°. ∴PC⊥PQ. （2）解：由题意得，AP=2t (cm)，BP=7-2t(cm)，BQ=xt(cm)，， 分两种情况： 当△ACP≌△BPQ时，AC=BP，AP=BQ， 得5=7-2t，2t=xt， ∴解得x=2，t=1； 当△ACP≌△BQP时，AC=BQ，AP=BP，得2t=7-2t，5=xt， ∴解得x=，t=. 综上所述，当x=2，t=1或x=，t=时，△ACP与△BPQ全等. 【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；同侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；分类讨论 【解析】【分析】（1）先利用垂直的定义得∠A=∠B=90°，再证AP=BQ，BP=AC，然后利用SAS证△ACP≌△BPQ，最后利用全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和及平角的定义即可推出PC⊥PQ； (2)先利用x，t分别表示出AP、BP、BQ，分情况讨论△ACP与△BPQ全等的可能性，通过边角关系建立方程求解x和t的值即可. ... ...