第3课时 对数函数的图象与性质(2) 典例精讲能力初成 探究1 复合型函数y＝logaf(x)的性质 例1-1 已知函数f(x)＝log3·log3(9x). (1) 求函数f(x)的值域； (2) 求不等式f(x)<－4的解集． 例1-2 (1) 求函数y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调区间； (2) 求函数y＝log2(|x|＋4)的值域． 对数型复合函数y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)性质的研究： (1) 定义域：抓住真数的取值范围，令f(x)>0，解出x的取值范围即可． (2) 值域：可以采用换元法，令f(x)＝u，先求出u的取值范围，再将原问题转化为求y＝logau的值域，结合u的取值范围进行处理即可． (3) 单调性：可以利用复合函数的“同增异减”法则处理，即令f(x)＝u，则y＝logau，研究单调性时特别要注意关注原函数的定义域． 变式 (2025·温州期末)已知函数f(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)(a>0且a≠1). (1) 判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2) 若f<1，求实数a的取值范围． 探究2 反函数 1. 反函数的概念 一般地，函数y＝f(x)(x∈A)，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到 ．如果y在C中的任何取值，通过x＝g(y)，x在A中都有唯一值和它对应，则x＝g(y)就表示x是关于自变量y的函数．这样的函数 叫做y＝f(x)(x∈A)的 ，记作 ． 例如，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数． 2. 反函数的性质 (1) 互为反函数的两个函数的图象关于 对称； (2) 若函数y＝f(x)的图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图象上，反之也成立； (3) 互为反函数的两个函数的单调性相同； (4) 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域； (5) 单调函数必有反函数． 例2 函数y＝log2(x∈(1，＋∞))的反函数是( ) A. y＝2－x＋1(x∈R) B. y＝－2x-1(x∈(1，＋∞)) C. y＝21-x(x∈R) D. y＝2(x∈R，x≠1) 变式 已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则f(2e)＝( ) A. 2e2 B. 2e C. 1＋ln 2 D. lg (2e) 探究3 对数函数的实际应用 例3 (课本P134例4)溶液酸碱度的测量．溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． (1) 根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； (2) 已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10-7摩尔/升，计算纯净水的pH. 随堂内化及时评价 1. 若函数y＝f(x)与y＝10x互为反函数，则y＝f(x)的解析式是( ) A. f(x)＝logx B. f(x)＝log2x C. f(x)＝lg x D. f(x)＝logx 2. 若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a＝( ) A. B. C. D. 2 3. 函数f(x)＝lg 的奇偶性是( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 4. 函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)的单调递增区间是( ) A. (0，1) B. (1，2) C. (－∞，1) D. (1，＋∞) 5. (2025·汕尾期末)(多选)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0且a≠1)的定义域为R， x1，x2，当x10，则实数a的取值范围可以是( ) A. (2，2) B. (2，2) C. (2，4) D. (4，2) 配套新练案 一、 单项选择题 1. 已知函数y＝f(log2x)的定义域为，则函数y＝f(2x)的定义域为( ) A. [－1，0] B. [－1，2] C. [0，1] D. [0，2] 2. 函数f(x)＝ln (x2－2x－15)的单调递增区间是( ) A. (－∞，1) B. (1，＋∞) C. (5，＋∞) D. [5，＋∞) 3. 函数f(x)＝log2(2x)·log2(4x)的值域为( ) A. R B. C. D. 4. 若函数y＝f(x)与y＝6x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是( ) A. (2，＋∞) B. (－∞，1) C. ... ...
