第四章 微专题4　双变量任意与存在问题（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

微专题4　双变量任意与存在问题 典例剖析素养初现 拓展1　双变量任意与存在之相等问题 视角1　形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立” 例1-1　已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是 ． 变式　已知f(x)＝，g(x)＝mx＋1－2m，若对任意的x1∈[2，3]，总存在x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)成立，则实数m的取值范围为 ． 视角2　形如“存在x1∈A，x2∈B，使f(x1)＝g(x2)成立” 例1-2　已知函数f(x)＝2x，x∈，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈，若存在x1∈，x2∈，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围． 解决双变量“存在性或任意性”相等问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系．记y＝f(x)，x∈[a，b]的值域为A，y＝g(x)，x∈[c，d]的值域为B， (1) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，则有A B； (2) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，则有A B； (3) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，故A∩B≠ . 拓展2　双变量任意与存在之不相等问题 视角1　形如“对任意x1∈A，任意x2∈B，f(x1)>g(x2)恒成立” 例2-1　已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　 　) A. 　 B. C. 　 D. 视角2　形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)>g(x2)成立” 例2-2　已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝，其中a>0，x≠0.若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)成立，则实数a的取值范围是 ． 视角3　形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)g(x2)成立” 例2-4　已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数a的取值范围为 ． 解决双变量“存在性或任意性”不等问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数最值之间的关系： (1) (“任意≥(≤、>、<)任意”型) x1∈D， x2∈E，均有f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max. (2) (“任意≥(≤、>、<)存在”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min. (3) (“存在≥(≤、>、<)任意”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)max. (4) (“存在≥(≤、>、<)存在”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min. 随堂内化及时评价 1. 已知函数f(x)＝log3(x2－1)，g(x)＝x2－2x＋a，对于任意x1∈[2，＋∞)，存在x2∈，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　 　) A. (－∞，1]　 B. (－∞，2] C. (－∞，－2]　 D. 2. 已知函数f(x)＝－x2＋3x＋5，g(x)＝2x＋a，若 x1∈[0，2]， x2∈[2，3]，使得f(x1)