7.4 事件的独立性 课件（14页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学必修第一册

(课件网) 第七章 概率 7.4 事件的独立性 1. 了解两个事件相互独立的概念； 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题. 情境：3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取. 事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”； 事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”. 思考：上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立吗？ 因为抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立； 我们知道，积事件就是事件与事件同时发生. 因此，积事件发生的概率一定与事件发生的概率有关. 问题1：下面两个随机试验各定义了一对随机事件和，试判断事件发生与否会影响事件发生的概率吗？ 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币： “第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. “第一次摸到球的标号小于3”，“第二次摸到球的标号小于3”. 分别计算两个试验中的 ，说说你有什么发现？ 对于试验1，因两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币抛掷结果与第二枚硬币抛掷结果互相不受影响，所以事件发生与否不影响事件发生的概率； 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件发生与否也不影响事件发生的概率. 试验1：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则样本空间为 ，包含4个等可能的样本点； ，，所以； 由古典概型概率计算公式，得 P(A) = P(B) = ，P(AB) = ， 于是 P(AB) = P(A)·P(B)； 发现：积事件的概率恰好等于与的乘积. 试验2：样本空间为， ， ， ； 所以，，于是也有. 发现：积事件的概率恰好等于与的乘积. 独立事件：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与相互独立，简称为独立. 延伸：由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立；这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件的影响； 同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响； 当然，它们也不影响其他事件是否发生. 问题2：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件与事件相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证与，与，与是否独立，你有什么发现？ 对于与，因为，而且与互斥， 所以 所以. 由事件的独立性定义，与相互独立. 我们知道，如果三个事件，两两互斥，那么概率加法公式：成立； 但当三个事件，两两独立时，等式一般不成立.（类似地，可以证明事件与，与也都相互独立） 例1：一个袋子中有标号分别为1， 2， 3， 4的4个球， 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，事件B = “第二次摸出球的标号小于3”， 那么事件A与事件B是否相互独立 B = {(1，2)， (2，1)， (3，1)， (3，2)， (4，1)， (4，2)}， 解：样本空间Ω = {(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}， 且m≠n}，共12个样本点. A = {(1，2)， (1，3)， (1，4)， (2，1)， (2，3)， (2，4)}， AB = {(1，2)， (2，1)}. 因此，事件A与事件B不独立. 例2：天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都降雨的概率； （2）甲、乙两地都不降雨的概率； （3）至少一个地方降雨的概率. 解：（1）甲、乙两地都降雨的概率为0.2×0.3 = 0.06； （2）甲、乙两地都不降雨的概率为 (1-0.2)×(1-0.3) = 0.8×0.7 = 0.56； （3）解法一：至少一个地方降雨的概率为0.2×0.3+(1-0.2) ... ...