7.3 频率与概率 课件（19页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学必修第一册

(课件网) 第七章 概率 7.3 频率与概率 1.了解频率的含义. 2.理解频率与概率的关系. 3.理解结合实例，会用频率估计概率解决实际问题. 1. 用频率估计概率 （1）《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对 2000名 18—35岁的青年进行的一项调查显示，在生活节奏加快的今天，70.0%的受访青年表示仍要培养古典诗词爱好，15.5%的人认为不需要，14.5%的人表示不好说. 随机选取一名18 ~ 35岁的青年，这名青年认为仍要培养古典诗词爱好的概率为多少？ （2）随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态，怎么确定瓶盖盖口朝下的概率？ 上述两个问题，如果用古典概型来确定概率，显然是不太合适的，但是我们可以利用有关统计数据得出事件发生的概率的估计值. 例如，可以重复做抛瓶盖试验若干次（设为n次），然后观察盖口朝下的次数（设为m次），最后用盖口朝下的频率 作为盖口朝下的概率的估计值. 尝试与发现：你觉得利用频率来估计概率的办法可靠吗？怎样检验这种方法的可靠性？ 为了验证这种确定事件发生的概率的方法的可靠性，历史上很多学者做过了成千上万次抛均匀硬币的试验，得到的结果如下表所示. 试验者 抛掷次数 n 正面向上次数 m 正面向上频率 棣莫弗 2048 1061 0.5181 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 抛均匀硬币观察朝上的面时，利用古典概型可算得正面朝上的概率为 ， 不难看出，以上学者们所得到的频率值，都可以较好地作为正面朝上的概率的近似值； 事实上，大数定律能够保证，在大量重复的试验过程中，一个事件发生过的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大. 一般地，如果在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的概率为 ，则当 n 很大时，可以认为事件 A 发生的概率 的估计值为 . 不难看出，此时也有 ，而且，可以验证，此时两对立事件的概率和为 1 以及互斥事件的概率加法公式等概率的性质也成立； 这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率. 解：因为 ，所以估计这类种子的发芽率为 0.903. 例1：为了确定某类种子的发芽率，从一大批这类种子中随机抽取了 2000 粒试种，后来观察到有 1806 粒发了芽，试估计这类种子的发芽率. 例2：据统计，2013 年北京地区拥有科普人员 48800 人，其中科普专职人员 7727 人，其余均为科普兼职人员. 2013 年 9 月的科普日活动中，到清华大学附属中学宣讲科普知识的是科普人张明，估计张明是科普专职人员的概率（精确到 0.01）. 解：可以算得，2013 年北京地区科普专职人员占所有科普人员的比例为： ，由此可估计，张明是科普专职人员的概率为 0.16 . 例3：某女篮运动员统计了她最近几次参加比赛投篮的得分情况，得到的数据如下表所示. 注：每次投篮，要么得两分，要么得三分，要么没投中. 投篮次数 投中两分的次数 投中三分的次数 75 45 12 解：因为 ， ，所以可以估计 P(A) = 0.6，P(B) = 0.16； 注意到 ，而且 A 与 B 互斥， 因此估计 例4：为了了解某次数学考试全校学生的得分情况，数学老师随机选取了若干名学生的成绩，并以 [50，60)，[60，70)，…，[90，100] 为分组，作出了如图所示的频率分布直方图. 从该学校中随机选取一名学生，估计这名学生该次数学考试成绩在 [90，100] 内的概率. 解：由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中，在[90，100]内的频率为0.01×(100-90) = 0.1； 因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学得分在[90，100]内的频率可以估计为 0.1. 故随机选取一名学生，这名学生该次数学考试成绩在[90，100]内的概率可以估计为 0.1 . 方法归纳：在用频率估 ... ...