6.3.2 离散型随机变量的方差 课件(共11张PPT) 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 第六章 概率 6.3.2 离散型随机变量的方差 1.通过具体实例，理解离散型随机变量方差及标准差的概念与意义. 2.掌握方差的性质，能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些简单的实际问题. 情境：A、B两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： 试想利用什么指标可以比较 A、B 两台机床的加工质量？ A机床次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 EX1 = 0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04 = 0.44； EX2 = 0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10 = 0.44； B机床次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.1 可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性. 思考：它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工质量，还有什么方法可以比较？ 其中 DX 为随机变量 X 的方差，其算术平方根 为随机变量 X 的标准差，记为 . X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 若离散型随机变量 X 的分布列如表： 则 描述了xi (i = 1，2，...，n) 相对于均值 EX 的偏离程度， 而 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度. 离散型随机变量的方差与标准差 方差（标准差）越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； 方差（标准差）越大，则随机变量的取值越分散. 随机变量的方差 DX 和标准差 都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均水平. 注意点： A机床次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.1 问题1：通过计算方差，标准差比较上面情境中机床的加工质量. 因为DX1 < DX2 (等价地 ) ，所以 A 机床加工质量更为稳定. 例1：甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投. 已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为， ，在 前3次投篮中，乙投篮的次数为 ，求随机变量 的分布列、期望和方差. 解：依题意知， 的取值范围为 ， 则，， ， 所以 的分布列为 ，故 ， . 0 1 2 P 归纳总结：求离散型随机变量 X 的方差的基本步骤： 1. 理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； 2. 求 X 取各个值的概率，写出分布列； 3. 根据分布列，由均值的定义求出 EX； 4. 根据方差的定义求出 DX. 例2：甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设 ξ，η 分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且 ξ 和 η 的分布列分别如 表1 和 表2 所示： 试比较这两名工人谁的技术水平更高. ξ 0 1 2 P 表1 表2 η 0 1 2 P 解：因为 即Eξ = Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当. 又因为 所以 Dξ > Dη，说明工人乙的技术比较稳定. 根据今天所学，回答下列问题： 1.如何求离散型随机变量的方差？ 2.求离散型随机变量 X 的方差的基本步骤是什么？ ... ...