6.4.2 超几何分布 课件(共15张PPT) 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

第六章 概率 6.4.2 超几何分布 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题. 问题1：已知 100 件产品中有 8 件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取 4 件. 设抽取的 4 件产品中次品数为 X，求随机变量 X 的分布列. （1）采用有放回抽样：每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时 X 服从二项分布，即 X ~ B (4，0.08)； （2）采用不放回抽样：虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合 n 重伯努利试验的特征，因此 X 不服从二项分布； 故可以根据古典概型求 X 的分布列. 由题意可知，X 可能的取值为 0，1，2，3，4； 从 100 件产品中任选 4 件，样本空间包含 ????1004个样本点，且每个样本点都是等可能发生的；其中 4 件产品中恰有 k 件次品的结果数为????8????????924?????； 由古典概型的知识得：X 的分布列为????(????=????)=????8????????924?????????1004，k = 0，1，2，3，4； 计算的具体结果 (精确到0.00001) 如表所示： ? {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 一般地，设有 N 件产品，其中有M (M ≤ N) 件次品.从中任取 n (n ≤ N)件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么 其中 n ≤ N，M ≤ N，n，M，N∈N+. 公式中的 k 可以取的最小值为max{0，n-(N-M)}，而不一定是0. 例如，有100件产品，其中有20件次品，从中任取85件产品，此时，至少要取到 5 件次品，而不是 0 件. 注意点： (1)超几何分布的特点：不放回抽样；(2)超几何分布的实质是古典概型. 若一个随机变量 X 的分布列由上式确定，则称随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布. 例1：从 50 名学生中随机选出 5 名学生代表，求学生甲被选中的概率. 解：设 X 表示选出的 5 名学生中含甲的人数 (只能取 0 或 1 )， 则 X 服从超几何分布，且 N = 50，M = 1，n = 5； 因此甲被选中的概率为????(????=1)=????11????494????505=110. ? 例2：一批零件共有 30 个，其中有 3 个不合格. 随机抽取 10 个零件进行检测，求至少有 1 件不合格的概率. 解：设抽取的 10 个零件中不合格品数为 X，则 X 服从超几何分布，且????=30，????=3，????=10； X 的分布列为????(????=????)=????3????????2710?????????3010，????=0，1，2，3； 至少有1件不合格的概率为 ????(????≥1)=????(????=1)+????(????=2)+????(????=3)=????31????279????3010+????32????278????3010+????33????277????3010≈0.7192. 也可以按如下方法求解：????(????≥1)=1?????(????=0)=1?????30????2710????3010≈0.7192. ? 问题2：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数. 令????=????????，则 p 是 N 件产品的次品率，而????????是抽取的 n 件产品的次品率，我们猜想????(????????)=????，即????????=????????. 实际上，令????=????????????{0，?????????+????}，????=????????????{????，????}，由随机变量均值的定义： 当????>0时，????(????)=????=??????????????????????????????????????????????????????=????????=?????????????????1?????1??????????????????????????????????.(1) 因为????=?????????????????1?????1??????????????????????=?????????1?????1，所以????(????)=????????????????????=?????????????????1?????1??????????????????????=?????????????1?????1????????????=????????????=????????. ? 例3：一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机 ... ...