4.1.2 指数幂的拓展 课件(共22张PPT)2025-2026学年苏教版（2019）高中数学 必修第一册

4.1.2 指数幂的拓展 1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 2.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程、了解无理数指数幂的含义. 3.理解指数幂的运算性质，能进行指数幂(实数幂)的运算. 观察下面的变形，你发现了什么？ 由(25)2 ＝ 210 ， 得 210 ＝ 25. ? 又由 5 ＝ 102，得 ? 210 ＝2102. ? 类似地，可以得到 3312 ＝ 3123 ， ? 5315 ＝ 3155?， ? ······ 这表明，当 m 被 n 整除时，就有 ?????????????=????????????( a＞0，m，n 均为正整数 ). ? 一般地，我们规定 ?????????????＝ ?????????????( a＞0，m，n 均为正整数 ). ? 这就是正数 a 的正分数指数幂的意义. 由此可知， 212 的意义为 ? 212?＝ 2 . ? 仿照负整数指数幂的意义，我们规定 ?????????????=1????????????( a＞0，m，n 均为正整数 ). ? ?????????????＝ ?????????????( a＞0，m，n 均为正整数 ). ? 一、分数指数幂的意义 ( a＞0，m，n 均为正整数) 正分数指数幂 负分数指数幂 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. ???????????? ＝???????????? ? ????????????? ＝_____＝_____ ? 1???????????? ? 二、有理数指数幂的运算性质 （1）????????????????=????????+?????????>0,????,????∈?????; （2）(????????)????=???????????? ????>0,????,????∈?????; （3）(????????)????=???????????????? ????>0,????>0,????∈?????. ? 例1：求值 (1)10012；?????????(2)823；?????????(3)9?32；?????????(4)181?34 ? 解：(1)10012=10212=102×12=10； (2)823=2323=23×23=4; (3)9?32=32?32=32×?32=127; (4)181?34=3?4?34=3?4×?34=27. ? 例2：用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中????>0） (1)????2?????;?????????????(2)1????3;?????????????(3)???????? ? 解：(1)????2?????=????2????12=????2+12=????52; (2)1????3=1????32=?????32; (3)????????=????????12=?????????1212=????3212=????34 ? （1）用根式的形式表示下列各式； 解： 练一练 ①????25; ②?????53. ? 练一练 解： 知识归纳 我们已将指数式 ax中的指数从整数推广到分数 (有理数)，是否还可以将指数推广到无理数呢? 例如，“22”有意义吗? ? 利用计算器，可以计算出表中的数值： {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x 2x 用计算器计算 2x的值 1 21 2 1.4 21.4 2.639 015 821 ··· 1.41 21.41 2.657 371 628 ··· 1.414 21.414 2.664 749 650 ··· 1.414 2 21.414 2 2.665 119 088 ··· ··· ··· ··· 2 ？ ？ {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x 2x 用计算器计算 2x的值 1 21 2 1.4 21.4 2.639 015 821 ··· 1.41 21.41 2.657 371 628 ··· 1.414 21.414 2.664 749 650 ··· 1.414 2 21.414 2 2.665 119 088 ··· ··· ··· ··· ？ ？ 随着 x 的取值越来越接近于2，2x 的值也越来越接近于一个实数，我们把这个实数记为22 ? 一般地，当 a＞0 且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 这样，指数幂的概念从有理数指数幂推广到实数指数幂. 以后可以证明，当a＞0，a≠1，N＞0时，一定有唯一的实数 x ，满足 ax＝N. 无理数 ＋有理数 正数 ???????? ? 全体实数 正数 ???????? ? 2.求下列各式的值： 解： 练一练 解： 练一练 1.分数指数幂： 2.实数指数幂的运算性质： 结合以下内容，回顾本节课所学知识： D 2.(多选)下列各式中一定成立的有( ) 解： BD －0.3 4.已知????12+?????12＝3，求下列各式的值． （1）????+?????1；（2）????2+?????2；（3）????32+?????32 ? (1)∵????12+?????12=3,∴????12+?????122=9, ? (2)∵????＋?????2＝7，∴????+?????12 ... ...