4.1.2 指数幂的拓展 课件(共17张PPT) 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学 必修第一册

4.1.2 指数幂的拓展 1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 2.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程、了解无理数指数幂的含义. 3.理解指数幂的运算性质，能进行指数幂(实数幂)的运算. (1)观察以下式子,总结你发现的规律:(a > 0) 规律: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 规律：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式. (2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 1.正数的正分数指数幂的意义： 2.正数的负分数指数幂的意义： 分数指数幂 规定了分数指数幂以后，幂????????(????>0)中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数. ? 知识归纳 有理指数幂的运算性质： 注意括号内各字母的条件. 知识归纳 例1 求下列各式的值. (1) 100 ； 12 ? (2) 8 ； 23 ? ＝ (102) ＝ 10 ＝ 10. 12 ? 2×12 ? ＝ (23) ＝ 2 ＝ 22＝4. 23 ? 3×23 ? (3) 9 ； －32 ? (4) (181) . ? －34 ? ＝ (32) ＝ 3－3 ＝ 127. ? －32 ? ＝ (181) ＝ (3－4) ＝33 ＝27. ? －34 ? －34 ? (1)5????6； (2)13????2； (3)4????3????2； (4)?????6. ? (1)5????6＝????65. ? (3)4????3????2＝????3????214＝????34?????24＝?????12????34. ? (4)?????6=????6=????62=????3 ? (2)13????2=1????23=?????23 ? 解： 例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0 我们已将指数式 ax中的指数从整数推广到分数 (有理数)，是否还可以将指数推广到无理数呢? 例如，“2 ”有意义吗?你有什么方法能说明吗？ 2 ? 利用计算器， 进行计算： {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x 2x 用计算器计算 2x的值 1 21 2 1.4 21.4 2.639 015 821 ··· 1.41 21.41 2.657 371 628 ··· 1.414 21.414 2.664 749 650 ··· 1.414 2 21.414 2 2.665 119 088 ··· ··· ··· ··· 2 ？ ？ {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x 2x 用计算器计算 2x的值 1 21 2 1.4 21.4 2.639 015 821 ··· 1.41 21.41 2.657 371 628 ··· 1.414 21.414 2.664 749 650 ··· 1.414 2 21.414 2 2.665 119 088 ··· ··· ··· ··· ？ ？ 随着 x 的取值越来越接近于2，2x 的值也越来越接近于一个实数，我们 把这个实数记为 2 . ? 2 ? 无理数 ＋有理数 正数 ???????? ? 全体实数 正数 ???????? ? 一般地，无理数指数幂 ax (a＞0，x为无理数) 是一个确定的实数。这样，我们就将指数幂 ax (a＞0) 中指数的取值范围x 从整数拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数。 无理数指数幂的意义 知识归纳 ???????? ? 正数 有理数 （1）????????????????=????????+?????????>0,????,????∈?????; （2）(????????)????=???????????? ????>0,????,????∈?????; （3）(????????)????=???????????????? ????>0,????>0,????∈?????. ? （1）????????????????=????????+?????(????>0,????,????∈????) ; （2）(????????)????=???????????? (????>0,????,????∈????) ; （3）(????????)????=???????????????? ????>0,????>0,????∈?????. ? ???????? ? 正数 全体实数 实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用. 知识归纳 1.计算?????1????等于（ ） ? A． B． C． D． C D 2.已知a>0，则????3????2 =（ ） ? A． B． C． D． 3. 求下列各式的值. 解： （3） （3） 4.已知????12+?????12＝3，求下列各式的值． （1）????+?????1；（2）????2+?????2；（3）????32+?????32 ? (1)∵????12+?????12=3,∴????12+?????122=9, ? (2)∵????＋?????2＝7，∴????+?????12＝49，即????2＋2＋?????2＝49.∴????2＋?????2＝47. (3) ... ...