24.1.2垂直于弦的直径 【题型1】与垂径定理有关的计算和证明 3 【题型2】与垂径定理有关的最值问题 4 【题型3】垂径定理与坐标系相关的问题 6 【题型4】垂径定理的应用 7 【知识点1】垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1.（2025 朝阳区校级模拟）如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ） A．4B．2C．D．1 【知识点2】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1.（2023秋 海南期末）唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12m,轮子的吃水深度CD为3m,则该桨轮船的轮子半径为（ ） A．4mB．5mC．6mD．7.5m 2.（2024秋 老河口市校级期末）如图，在直径为82cm的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽AB=80cm,则油的最大深度为（ ） A．32cmB．31cmC．9cmD．18cm 【题型1】与垂径定理有关的计算和证明 【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB＝4，则CD的长为（ ） A. B.4 C. D. 【举一反三1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，点M是的中点，OM交AC于点D，∠A＝30°，AB＝8，则MD的长是 ． 【举一反三3】⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24，CD=10cm. 求AB和CD之间的距离. 【举一反三4】如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形. 【题型2】与垂径定理有关的最值问题 【典型例题】如图，⊙O的半径OA＝4 cm，设AB＝6 cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为（ ） A. cm B.4 cm C.3 cm D. cm 【举一反三1】如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（ ） A. B. C. D.以上都不对 【举一反三3】如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三4】如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ． 【举一反三5】如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ． 【举一反三6】如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ． 【题型3】垂径定理与坐标系相关的问题 【典型例 ... ...
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