2025-2026学年天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校高二上学期第一次（10月）月考数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.已知空间向量，若，则( ) A. B. C. D. 3.空间向量在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4.如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且，则等于 A. B. C. D. 5.已知过点的直线的斜率为，则等于 A. B. C. D. 6.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( ) A. B. C. D. 与相交但不垂直 7.点关于直线的对称点的坐标为( ) A. B. C. D. 8.若直线过第一、三、四象限，则实数满足( ) A. B. C. D. 9.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为( ) A. B. C. D. 10.若直线与平行，则与间的距离为( ) A. B. C. D. 11.已知点，，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围( ) A. B. 或 C. 或 D. 12.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点且垂直于直线的直线方程分别为( ) A. ； B. ； C. ； D. ； 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 13.已知，，则 ． 14.点到直线的距离为 ． 15.已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 16.已知经过、两点的直线的方向向量为，则实数的值为 ． 17.已知圆经过点，，，则圆的标准方程为 ． 18.已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是 19.不论为何实数，直线恒过定点 ． 20.已知直线和垂直且，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 已知直线． 经过点且与直线平行的直线； 经过点且与直线垂直的直线； 经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线． 22.本小题分 分别求满足下列条件的圆的标准方程： 经过点，圆心在轴上； 经过直线与的交点，圆心为点． 23.本小题分 在棱长为的正方体中，为的中点． 求异面直线与所成角的余弦值； 求直线与平面所成角的正弦值； 求点到平面的距离． 24.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且． 求证：平面； 求平面与平面所成角的余弦值； 设为棱上的点不与，重合，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.设所求直线的方程为， 依题意有，解得， 所以所求直线方程为； 设所求直线方程为， 依题意有，解得， 所以所求直线方程为； 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时； 当直线的截距都不为时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述或． 22.设圆的方程为， 由题意得：解得： 所以圆的标准方程为； 联立与， 解得：，所以交点为， 则圆的半径为， 所以圆的标准方程为． 23.如图，正方体中，为的中点，连接交于，连接， 根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，且，则两两垂直． 则可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系． 由于棱长为，则面对角线为． 因此涉及的关键点坐标为， 则． 则， 则异面直线与所成角的余弦值为； 由上易知， 设平面的一个法向量为， 则，令， 即， 设直线与平面所成角为， 则； 根据知平面的一个法向量， 而，所以点到平面的距离． 24.因为平面，平面，平面，所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知可得，，，，， 所以，，． 因为，所以， 又，平面，平面． 所以平面． 设平面的法向量，由可知， 设平面的法向量 因为，． 所以，即 不妨设，得． ， 又由图示知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 设，即所以，即． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即 ... ...
